Caudal de agua que circula por una tubería sabiendo el desnivel en un manómetro de Venturi

, por F_y_Q

Considera un medidor de Venturi. Si fluye agua (\rho_{H_2O} = 10^3\ kg/m^3) por una tubería de sección transversal (A_1 = 3.60\cdot 10^{-3}\ m^2) que luego se estrecha hasta un valor (A_2 = 1.20\cdot 10^{-3}\ m^2) en el cuello, la altura medida en el manómetro diferencial de mercurio (\rho_{H_2O} = 1.36\cdot 10^4\ kg/m^3) es de 5.00 cm. ¿Cuánto vale el caudal de agua que circula por la tubería?


SOLUCIÓN:

El planteamiento que haré del ejercicio es igualar la presión del manómetro con la diferencia de presión que se produce en el estrechamiento de la tubería. Para ello usaré la ecuación de la presión estática en fluidos y la ecuación de Bernoulli.

Presión debida a la altura del mercurio en el manómetro.

\Delta P = \rho_{Hg}\cdot g\cdot h = 1.36\cdot 10^4\ \frac{kg}{m\cancel{^3}}\cdot 9.8\ \frac{\cancel{m}}{s^2}\cdot 5\cdot 10^{-2}\ \cancel{m} = \color{blue}{6.66\cdot 10^3\ Pa}

Diferencia de presión en el interior de la tubería.

La ecuación de Bernoulli es:

P_1 + \frac{1}{2}\rho_{H_2O}\cdot v_1^2 + \cancel{\rho_{H_2O}\cdot g\cdot y_1} = P_2 + \frac{1}{2}\rho_{H_2O}\cdot v_2^2 + \cancel{\rho_{H_2O}\cdot g\cdot y_2}

Como la tubería es horizontal, no habrá componente de presión debido al desnivel de la tubería y por eso se cancelan los factores.

P_1 - P_2 = \frac{1}{2}\cdot \rho_{H_2O}\Big(v_2^2 - v_1^2\Big)

Ambas presiones son iguales por lo que igualamos:

\frac{10^3}{2}\ \frac{kg}{m^3}\Big(v_2^2 - v_1^2\Big) = 6.66\cdot 10^3\ Pa\ \to\ v_2^2 - v_1^2 = 13.32\ \frac{m^2}{s^2}

Necesitamos conocer la relación entre las velocidades en la parte estrecha y la parte ancha de la tubería. Para ello usamos la ecuación de continuidad:

v_1\cdot A_1 = v_2\cdot A_2\ \to\ v_2 = \frac{A_1}{A_2}\cdot v_1\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{v_2 = 3v_1}

Sustituyendo el valor de la velocidad en la ecuación anterior:

\Big(3v_1\Big)^2 - v_1^2 = 13.32\ \to\ 8v_1^2 = 13.32\ \to\ \color{blue}{v_1 = 1.29\ \frac{m}{s^2}}

El cálculo del caudal es inmediato:

Q = v\cdot A = 1.29\ \frac{m}{s}\cdot 3.6\cdot 10^{-3}\ m^2 = \fbox{\color{red}{\bm{4.64\cdot 10^{-3}\ \frac{m^3}{s}}}}