Centro de masas de una lámina de aluminio y hierro (5688)

, por F_y_Q

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Se tiene una lámina metálica de dimensiones 22 cm x 13 cm x 2.8 cm. La mitad de la lámina está compuesta por aluminio (\rho_{\ce{Al}} = 2.70\ \textstyle{g\over cm^3}) y la otra mitad por hierro (\rho_{\ce{Fe}} = 7.85\ \textstyle{g\over cm^3}). ¿Dónde se situará el centro de masas de la lámina?

P.-S.

En primer lugar, calculas el volumen de la lámina:

V_T = (22\cdot 13\cdot 2.8)\ cm^3 = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{800.8\ cm^3}}

Como la mitad de este volumen corresponde a cada metal, vamos a calcular la masa de aluminio y de hierro que contiene la lámina:

\left m_{\ce{Al}} = \rho_{\ce{Al}}\cdot \frac{V_T}{2} = 2.7\ \frac{g}{\cancel{cm^3}}\cdot 400.4\ \cancel{cm^3} = {\color[RGB]{0,112,192}{\bf 1\ 081\ g\ Al}} \atop m_{\ce{Fe}} = \rho_{\ce{Fe}}\cdot \frac{V_T}{2} = 7.85\ \frac{g}{\cancel{cm^3}}\cdot 400.4\ \cancel{cm^3} = {\color[RGB]{0,112,192}{\bf 3\ 143\ g\ Fe}} \right \}

Como la lámina es simétrica, puedes considerar que el centro de masas estará localizado en el interior de la lámina. Toma como referencia la longitud de la lámina para poder hacer el cálculo. Imagina que tienes que colocar una aguja en un punto en el que la lámina quedase en equilbrio, ¿en qué parte de la cara de la lámina habría que colocar la aguja? Eso es lo que tienes que calcular. Lo haces igualando los momentos de sus pesos:

M_{\ce{Al}} = M_{\ce{Fe}}\ \to\ m_{\ce{Al}}\cdot \cancel{g}\cdot d = m_{\ce{Fe}}\cdot \cancel{g}\cdot (22 - d)

Sustituyes los valores de las masas calculados anteriormente:

3\ 143\cdot d = 1\ 081(22 - d)\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bf 3\ 143\cdot d = 23\ 782 - 1\ 081\cdot d}

Despejas y calculas «d», que será la distancia al borde de la parte hecha de hierro:

4\ 224d = 23\ 782\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf d = 5.63\ cm}}