Teorema de Torricelli aplicado a un cilindro con agua

, por F_y_Q

Tenemos un recipiente (cilindro recto) que está lleno de agua hasta una altura 10.1 m. A una profundidad 1.30 m bajo la superficie del agua se taladra un orificio. Determina:

a) La velocidad con la que sale el agua del orificio.

b) El alcance x del chorro, medido desde la base del cilindro.

c) ¿A qué profundidad h se debe realizar un orificio para que el alcance x sea máximo?


SOLUCIÓN:

a) Debido a la presión que ejerce el líquido que se encuentra por encima del orificio que taladramos, el agua sale con una velocidad que se puede obtener a partir de la expresión: v = \sqrt{2\cdot g\cdot h}
Esta conclusión es la que nos indica el enunciado del Teorema de Torricelli que nos dice que la velocidad de salida del líquido será igual a la velocidad de ese líquido cayendo desde el vacío desde el nivel inicial del líquido hasta el lugar en el que se ha hecho el orificio. El enunciado indica que el agujero se hace a una profundidad de 1.30 m con respecto al nivel inicial del líquido:

v = \sqrt{2\cdot 9.8\frac{m}{s^2}\cdot 1.3\ m} = 5.05\frac{m}{s}


b) Para calcular el alcance inicial del chorro debemos considerar que sigue un movimiento semejante a un lanzamiento horizontal. En ese caso, la posición con respeto al eje X sigue la ecuación x = v\cdot t, mientras que la posición en el eje Y sigue la ecuación y = \frac{1}{2}gt^2. Como sabemos que el agua comienza a salir a una altura de (10.1 - 1.30) = 8.8 m:
t = \sqrt{\frac{2y}{g}} = \sqrt{\frac{2\cdot 8.8\ m}{9.8\frac{m}{s^2}}} = 1.80\ s
Para saber la posición horizontal sustituimos este tiempo en la ecuación correspondiente:

x = v\cdot t = 5.05\frac{m}{s}\cdot 1.80\ s = \bf 9.09\ m


c) Para poder calcular la profundidad a la que el alcance es máximo debemos conseguir la ecuación del alcance en función de la profundidad, derivar esa ecuación e igualarla a cero. Para ello escribimos el alcance en función del valor de la altura del orficio:
\left. {\begin{array}{*{20}{c}}
{v = \sqrt {2gh} }\\
{t = \sqrt {\frac{{2(10.1 - h)}}{g}} }
\end{array}} \right\}\ \longrightarrow x = \sqrt {2\cancel{g}h}\cdot  \sqrt {\frac{{2(10.1 - h)}}{\cancel{g}}}  = \sqrt {4h(10.1 - h)}

\frac{dx}{dh} = 0\ \to\ -8h + 40.4 = 0\ \to\ \bf h = 5.05\ m