Aceleración de la Tierra en la superficie y altura a la que es la mitad (5837)

, por F_y_Q

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Admitiendo que la Tierra es una esfera de 6 370 km de radio y masa de 5.98\cdot 10^{24}\ kg:

a) Determina la aceleración a la que estará sometido un cuerpo dejado libre en el ecuador.

b) ¿A qué altura sobre la superficie de la Tierra tendrá la mitad de la aceleración anterior?

Dato: G = 6.67\cdot 10^{-11}\ \textstyle{N\cdot m^2\over kg^2}

P.-S.

a) La aceleración de la gravedad en la Tierra en la superficie la obtenemos si consideramos que la distancia al centro de la Tierra es el radio:

g_T = G\cdot \frac{M_T}{R_T^2} = 6.67\cdot 10^{-11}\frac{N\cdot \cancel{m^2}}{kg\cancel{^2}}\cdot \frac{5.98\cdot 10^{24}\ \cancel{kg}}{(6.37\cdot 10^6)^2\ \cancel{m^2}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{9.83\ \frac{N}{kg}\ (\textstyle{m\over s^2})}}}


b) Ahora debemos poner la condición de que la nueva aceleración es la mitad:

\frac{g_T}{g^{\prime}} = \frac{\cancel{G}\frac{\cancel{M_T}}{R_T^2}}{\cancel{G}\frac{\cancel{M_T}}{(R_T + h)^2}} = 2

Reescribimos la ecuación y nos queda:

\frac{(R_T - h)^2}{R_T^2} = 2\ \to\ (R_T + h) = \sqrt{2}R_T

h = R_T(\sqrt{2} - 1) = 6\ 370\ km\cdot 0.414 = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 2\ 637\ km}}