Ampliación: Tiempo en caer un cuerpo que choca contra un plano inclinado

, por F_y_Q

Un cuerpo cae desde una altura de 19 pies con respecto al piso. A una altura de 10 pies éste choca elásticamente contra un plano inclinado de 30 ^o con respecto a la horizontal. Encuentra el tiempo que emplea el cuerpo en tocar el piso desde que es soltado en el punto A.


SOLUCIÓN:

Si llamas P al punto en el que toca el cuerpo con el plano inclinado, el tiempo que tardará en caer desde A hasta P lo puedes obtener como una caída libre:

y = y_0 - \frac{1}{2}g\cdot t_{AP}^2\ \to\ t_{AP} = \sqrt{\frac{9\ \cancel{ft}\cdot \frac{0,305\ \cancel{m}}{1\ \cancel{ft}}}{5\ \frac{\cancel{m}}{s^2}}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 0.74\ s}

La velocidad con la que llega a P será:

v_P = \cancelto{0}{v_0} + g\cdot t_{AP} = 9.8\ \frac{m}{s\cancel{^2}}\cdot 0.74\ \cancel{s} = \color[RGB]{2,112,20}{\bm{7.25\ \frac{m}{s}}}

Esta velocidad es la velocidad inicial con la que cuerpo comienza su movimiento oblicuo tras chocar contra el plano inclinado.
La posición vertical del movimiento viene dada por la ecuación:

y = y_0 + v_0\cdot t\cdot sen\ 30 - \frac{g}{2}\cdot t^2

Impones la condición de que el cuerpo llegue al suelo (y = 0) y resuelves la ecuación de segundo grado:

\cancelto{0}{y} = 10\ \cancel{ft}\cdot \frac{0.305\ m}{1\ \cancel{ft}} + 7.25\ \frac{m}{s}\cdot t\cdot \frac{1}{2} - 4.9\ \frac{m}{s^2}\cdot t^2\ \to\ 4.9t^2 - 3.63t - 3.05 = 0

Solo hay un valor positivo al resolver la ecuación:

\begin{array}{ccc} & & t_1 = \frac{3.63+\sqrt{72.9569}}{9.8}=\color[RGB]{0,112,192}{\bf 1.24\ s}\\ & \nearrow &\\ t=\frac{-(-3.63)\pm \sqrt{(-3.63)^2-4 \cdot4.9\cdot(-3.05)}}{2 \cdot4.9}=
\frac{3.63\pm \sqrt{72.9569}}{9.8}& &\\ & \searrow &\\& &t_2 = \frac{3.63-\sqrt{72.9569}}{9.8}=-0.50\end{array}

El tiempo total que emplea el cuerpo en tocar el suelo es la suma de los tiempos de los dos movimientos:

t = t_1 + t_2 = (0.74 + 1.24)\ s = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 1.98\ s}}

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