Ampliación: composición de movimientos y conservación del momento lineal y energía mecánica (7441)

, por F_y_Q

En la figura se aprecia un proyectil de masa m = 0.6 kg que se lanza desde el suelo con una rapidez inicial v_0 = 20\ \textstyle{m\over s} y un ángulo \theta = 60^o con respecto a la horizontal. El proyectil impacta a un cuerpo de masa M = 0.2 kg colgado en una cuerda justo en el instante en que alcanza su máxima altura. El choque entre el proyectil y el cuerpo es plástico, y ambos cuerpos pegados se elevan lateralmente hasta detenerse.

a) Determina la distancia D entre la posición de lanzamiento del proyectil y la posición horizontal del cuerpo.

b) Determina la velocidad de los dos cuerpos pegados inmediatamente después del choque.

c) Determina la máxima altura con respecto al suelo que alcanzan los dos cuerpos pegados después del choque.


SOLUCIÓN:

Los datos claves de este problema son que la colisión entre los cuerpos se produce cuando el de masa m alcanza su altura máxima y que el choque es plástico. Si impones la condición de la altura máxima, es decir, que la velocidad en el eje vertical es cero para el cuerpo lanzado, el tiempo de subida es:

v_y = 0\ \to\ v_0\cdot sen\ \theta - g\cdot t_s\ \to\ t_s = \frac{20\ \frac{\cancel{m}}{\cancel{s}}\cdot sen\ 60^o}{9.8\ \frac{\cancel{m}}{s\cancel{^2}}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 1.77\ s}}

a) La distancia D será la misma que la posición horizontal del cuerpo lanzado en ese tiempo:

D = v_0\cdot cos\ \theta\cdot t_s = 20\ \frac{m}{\cancel{s}}\cdot cos\ 60^o\cdot 1.77\ \cancel{s} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 17.7\ m}}


b) La velocidad del cuerpo lanzado, en el instante del choque, es:

v_x = v_0\cdot cos\theta = 20\ \frac{m}{s}\cdot cos\ 60^o = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{10\ \frac{m}{s}}}

En la colisión plástica de tiene que conservar la cantidad de movimiento:

m\cdot v_0 + M\cdot \cancelto{0}{u_0} = (m + M)\cdot v_f\ \to\ v_f = \frac{0.6\ \cancel{kg}\cdot 10\ \frac{m}{s}}{(0.6 + 0.2)\ \cancel{kg}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{7.5\ \frac{m}{s}}}}


c) Es necesario conocer a qué altura está el cuerpo de masa M para poder calcular este apartado. Lo calculas a partir de la altura máxima que alcanza el objeto lanzado:

y_{\text{max}} = v_0\cdot t_s\cdot sen\ \theta - \frac{g}{2}\cdot t_s^2 = 20\ \frac{m}{\cancel{s}}\cdot 1.77\ \cancel{s}\cdot sen\ 60^o - 4.9\ \frac{m}{\cancel{s^2}}\cdot 1.77^2\ \cancel{s^2} = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 15.3\ m}}

La energía mecánica se tiene que conservar y se cumple que:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{E_C(i) + E_P(i) = \cancelto{0}{E_C(f)} + E_P(f)}}

Despejas el valor de la altura final del conjunto:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{h_f = \frac{\frac{(m + M)}{2}\cdot v_0^2 + (m + M)\cdot g\cdot h_0}{(m +M)\cdot g}}}

Sustituyes y calculas:

h_f = \frac{0.4\ \cancel{kg}\cdot 7.5^2\ \frac{m\cancel{^2}}{\cancel{s^2}} + 0.8\ \cancel{kg}\cdot 9.8\ \cancel{\frac{m}{s^2}}\cdot 15.3\ m}{0.8\ \cancel{kg}\cdot 9.8\ \cancel{\frac{m}{s^2}}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 18.2\ m}}