Ampliación: posición en la que colisionan dos partículas tras un choque y un rebote

, por F_y_Q

Una partícula de masa m_1 = 0.30\ kg se desliza hacia la derecha a lo largo de un eje X en un piso sin fricción con una velocidad v_1 = 2.0\ \textstyle{m\over s}. Cuando alcanza la posición x  = 0 , sufre una colisión elástica unidimensional con otra partícula estacionaria de masa m_2 = 0.40\ kg . Cuando la segunda partícula alcanza una pared que está a 70 cm del punto de colisión, rebota con la pared sin pérdida de velocidad. ¿En qué posición del eje X la segunda partícula colisiona con la primera?


SOLUCIÓN:

Como la colisión entre las dos masas es elástica se deben conservar la cantidad de movimiento y la energía cinética de sistema. Las ecuaciones que cumplen estas condiciones son:

m_1\cdot v_1 + m_2\cdot \cancelto{0}{v_2} = m_1\cdot u_1 + m_2\cdot u_2

\frac{m_1}{\cancel{2}}\cdot v_1^2 + \frac{m_2}{\cancel{2}}\cdot \cancelto{0}{v_2^2} = \frac{m_1}{\cancel{2}}\cdot u_1^2 + \frac{m_1}{\cancel{2}}\cdot u_2^2

Agrupas ambas ecuaciones y reescribes la diferencia de cuadrados en la segunda:

m_1(v_1 - u_1) = m_2\cdot u_2

m_1(v_1^2 - u_1^2) = m_2\cdot u_2^2\ \to\ m_1(v_1 + u_1)(v_1 - u_1) = m_2\cdot u_2^2

Si sustituyes la primera ecuación en esta segunda ecuación reescrita, obtienes:

\cancel{m_2}\cdot \cancel{u_2}(v_1 + u_1) = \cancel{m_2}\cdot u_2\cancel{^2}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{u_2 = v_1 + u_1}}

La velocidad de la primera partícula después del choque es:

0.3(2 - u_1) = 0.4(2 + u_1)\ \to\ 0.6 - 0.3u_1 = 0.8 + 0.4u_1\ \to\ \color[RGB]{0,112,192}{\bm{-0.29\ \frac{m}{s}}}

La velocidad de la segunda partícula después de choque es:

u_2 = (2 - 0.29)\ \frac{m}{s} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{1.71\ \frac{m}{s}}}

El tiempo que tardará la segunda partícula en llegar a la pared contra la que tiene que rebotar es:

t = \frac{d}{u_2} = \frac{0.7\ \cancel{m}}{1.71\ \frac{\cancel{m}}{s}} = \color[RGB]{2,112,20}{\bf 0.41\ s}

La primera partícula, en ese tiempo, recorre:

x = -0.29\ \frac{m}{\cancel{s}}\cdot 0.41\ \cancel{s} = \color[RGB]{2,112,20}{\bf -0.12\ m}

Las ecuaciones de las posiciones de ambas partículas, tomando como referencia el punto del choque (x = 0), y una vez que la segunda partícula rebota contra la pared, son:

\left
x_1 = -0.12 - 0.29t \atop
x_2 = 0.7 - 1.71t
\right \}

Igualas ambas posiciones y calculas el tiempo que transcurre hasta que la segunda partícula alcanza a la primera:

-0.12 - 0.29t = 0.7 - 1.71t\ \to\ 1.42t = 0.82\ \to\ t^{\prime} = \frac{0.82\ \cancel{m}}{1.42\ \frac{\cancel{m}}{s}} = \bf 0.58\ s

La posición la obtienes al sustituir el tiempo calculado en cualquiera de las ecuaciones de la posición:

x_2 = 0.7\ m - 1.71\ \frac{m}{\cancel{s}}\cdot 0.58\ \cancel{s} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf -0.29\ m}}


Esto quiere decir que se produce la segunda colisión a 29 cm de la posición donde se produjo la primera a la izquierda de la misma.