Ampliación: transformación y conservación de la energía en montaña rusa

, por F_y_Q

Desde la máxima altura de una montaña rusa (90 m), se desliza un carro que pesa 1 200 N. Mientras desciende se transforma el 20 \% de la energía potencial en energía calórica debido al rozamiento y ha avanzado 40 m horizontalmente cuando llega a la parte más baja de la montaña rusa. Debido a la construcción de la montaña rusa el carro se desliza horizontalmente durante 30 m, transformando en esa distancia el 15 \% de la energía cinética con la que había llegado a la parte más baja en energía calórica. Debido a la energía cinética que aún posee el carro, y a la construcción de la montaña rusa, inicia un ascenso recorriendo 67 m hasta llegar a la parte más alta de su segunda joroba, pero durante el ascenso, y debido al rozamiento, el 25 \% de la energía cinética con la cual partió en la parte baja del ascenso se transforma en energía calórica. Debido a la energía potencial que posee y a la construcción de la montaña rusa, el carro inicia un segundo descenso donde recorre 54 m, transformando en energía calorífica el 18 \% de la energía potencial cuando llega el carro a la parte más baja de la montaña rusa. Debido a la energía cinética que aún posee el carro, inicia un segundo trazado horizontal de 30 m, donde, debido al rozamiento, el 18 \% de la energía cinética con la que inició su segundo trazado horizontal se transforma en energía calórica y debido a la energía cinética que aún posee el carro, el carro inicia un segundo ascenso de 45 m donde el 26 \% de la energía cinética se transforma en calor, llegando a la parte más alta de la tercera joroba. El carro comienza un tercer descenso de 37 m debido a su energía potencial durante el que transforma en calor el 20 \% al llegar a la parte más baja de la montaña rusa, donde hace su último recorrido horizontal de 50 m hasta detenerse.

Teniendo en cuenta la situación planteada efectúa:

1. El grafico s-t correspondiente.

2. Las diferentes transformaciones de energía que se producen.

3. La desaceleración del carro en el último trayecto horizontal.

4. La altura de las jorobas de la montaña rusa.

5. La velocidad del carro al inicio y al final de los tres recorridos horizontales.


SOLUCIÓN:

1. Para poder hacer el gráfico es necesario establecer los valores de las alturas de las jorobas de la montaña rusa, cosa que debes hacer en el cuarto apartado del problema.
Si clicas sobre la miniatura podrás ver la gráfica con más detalle:


2. Para hacer las transformaciones, y dado que se expresa la degragación de la energía en porcentaje, puedes ir calculando la energía en cada punto y aplicar esos porcentajes. Tienes que aplicar el teorema de la conservación de la energía, siendo muy importante que leas bien el enunciado y cómo se va refiriendo a la energía cinética o potencial en cada tramo.

E_P(A) = E_C(B) + Q\ \to\ E_P(A) = E_C(B) - 0.2E_P(A)\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{E_C(B) = 0.8E_P(A)}}}

E_C(C) = 0.85E_C(B) = 0.85[0.8E_P(A)]\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{E_C(C) = 0.68E_P(A)}}}

\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{E_P(D) = 0.51E_P(A)}}}

\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{E_C(E) = 0.42E_P(A)}}}

\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{E_C(F) = 0.34E_P(A)}}}

\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{E_P(G) = 0.25E_P(A)}}}

\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{E_C(H) = 0.2E_P(A)}}}

\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{E_C(H) = Q_f = 0.2E_P(A)}}}

4. Referir la energía en cada punto a la energía potencial inicial en el punto A tiene la ventaja de que puedes conocer la energía en cada punto de manera fácil. La energía potencial en A es:

E_P(A) = m\cdot g\cdot h_A = 1\ 200\ N\cdot 90\ m = \color[RGB]{2,112,20}{\bm{1.08\cdot 10^5\ J}}


Ahora puedes calcular las energías potenciales en D y G y luego obtener las alturas:

E_P(D) = 0.51\cdot 1.08\cdot 10^5\ J = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{5.51\cdot 10^4\ J}}

E_P(D) = mgh_D\ \to\ h_D = \frac{E_P(D)}{mg} = \frac{5.51\cdot 10^4\ J}{1.2\cdot 10^3\ N} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 45.9\ m}}}


E_P(G) = 0.25\cdot 1.08\cdot 10^5\ J = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{2.7\cdot 10^4\ J}}

h_G = \frac{E_P(G)}{mg} = \frac{2.7\cdot 10^4\ J}{1.2\cdot 10^3\ N} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 22.5\ m}}}


5. Ahora debes hacer algo similar para las energías cinéticas en los tramos horizontales:

E_C(B) = 0.8\cdot 10^5\ J = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{8.64\cdot 10^4\ J}}}

E_C(B) = \frac{m}{2}\cdot v_B^2\ \to\ v_B = \sqrt{\frac{2E_C(B)}{m}} = \sqrt{\frac{2\cdot 8.64\cdot 10^4\ J}{120\ kg}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{37.9\ \frac{m}{s}}}}


E_C(C) = 0.68\cdot 1.08\cdot 10^5 = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{7.34\cdot 10^4\ J}}}

v_C = \sqrt{\frac{2\cdot 7.34\cdot 10^4\ J}{120\ kg}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{35\ \frac{m}{s}}}}


E_C(E) = 0.42\cdot 1.08\cdot 10^5 = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{4.54\cdot 10^4\ J}}}

v_E = \sqrt{\frac{2\cdot 4.54\cdot 10^4\ J}{120\ kg}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{27.5\ \frac{m}{s}}}}


E_C(F) = 0.34\cdot 1.08\cdot 10^5 = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{3.67\cdot 10^4\ J}}}

v_F = \sqrt{\frac{2\cdot 7.34\cdot 10^4\ J}{120\ kg}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{24.7\ \frac{m}{s}}}}


E_C(H) = 0.2\cdot 1.08\cdot 10^5 = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{2.16\cdot 10^4\ J}}}

v_H = \sqrt{\frac{2\cdot 7.34\cdot 10^4\ J}{120\ kg}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{19\ \frac{m}{s}}}}


3. La velocidad en el punto I es cero porque el carro se detiene. La desaceleración que sufre el carro en ese último tramo la puedes calcular por cinemática:

\cancelto{0}{v_I^2} = v_H^2 + 2ad_{H-I}\ \to\ a = \frac{- v_H^2}{2d} = \frac{-19^2\ \frac{m\cancel{^2}}{s^2}}{2\cdot 50\ \cancel{m}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{-3.61\ \frac{m}{s^2}}}}

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