Ampliación: Conservación de la energía en un sistema mecánico (7105)

, por F_y_Q

Un objeto de masa m se libera sin velocidad inicial en una rampa de modo que desliza hacia abajo. La rampa es de longitud L , con coeficiente de rozamiento \mu y tiene un ángulo de inclinación \beta con respecto a la horizontal. Una vez que el objeto llega a la base de la rampa, sigue deslizándose por una superficie horizontal sin rozamiento, hasta tomar contacto con un resorte de constante elástica k y comprimirlo, tras lo que el resorte se expande e impulsa al objeto de vuelta hacia la rampa.

a) Encuentra una expresión para la velocidad del objeto al llegar a la base de la rampa.

b) Evalúa la expresión obtenida en el punto anterior considerando los siguientes datos:

m = 15 kg ; L = 7 m ; \mu = 0.25 ; \beta = 30^o ; k = 1\ 450\ \textstyle{N\over m}

c) Con los datos y el resultado de b), determina la deformación máxima que experimenta el resorte.

d) Con los datos y resultados de los tres apartados primeros determina la máxima altura con respecto a la horizontal que alcanza el objeto en la rampa al detenerse después de ser impulsado por el resorte


SOLUCIÓN:

Es buena idea hacer un esquema de la situación descrita en el enunciado para poder entender qué ocurre durante el movimiento del objeto. La situación inicial es la que puedes ver en la imagen y los puntos A, B, C y D serán los que se corresponden con cada uno de los apartados del problema:


Si clicas en la miniatura podrás ver el esquema con más detalle.

a) Como al moverse por el plano inclinado sí hay rozamiento, haciendo un balance de energía tienes:

E_M(A) = E_M(B) + W_{Roz}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{E_P(A) = E_C(B) + W_{Roz}}}

Si escribes cada factor en función de los datos dados en el enunciado:

m\cdot g\cdot h = \frac{m}{2}\cdot v_B^2 + F_R\cdot L\ \to\ \cancel{m}\cdot g\cdot L\cdot sen\ \beta = \frac{\cancel{m}}{2}\cdot v_B^2 + \mu\cdot \cancel{m}\cdot g\cdot L\cdot cos\ \beta
Despejas el valor de la velocidad en B:

\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{v_B = \sqrt{2gL(sen\ \beta - \mu\cdot cos\ \beta)}}}}


b) Tan solo tienes que sustituir los datos en la ecuación anterior y calcular:

v_B = \sqrt{2\cdot 9.8\ \frac{m}{s^2}\cdot 7\ m\cdot (sen\ 30 - 0.25\cdot cos\ 30)} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{6.24\ \frac{m}{s}}}}


c) El balance de energía ahora carece de término de rozamiento porque el plano horizontal no presenta fricción:

E_M(B) = E_M(C)\ \to\ E_C(B) = E_{P_e}(C)\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{\frac{m}{\cancel{2}}\cdot v_B^2 = \frac{k}{\cancel{2}}\cdot \Delta x^2}}

Despejas el valor de la deformación y calculas:

\Delta x = \sqrt{\frac{m\cdot v^2}{k}} = \sqrt{\frac{15\ kg\cdot 6.24^2\ \frac{m^2}{s^2}}{1\ 450\ \frac{N}{m}}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 0.635\ m}}


d) El balance de energía ahora es muy similar al del primer apartado, pero teniendo en cuenta la energía potencial elástica en C:

E_{P_e}(C) = E_{P_g}(D) + W_{Roz}\ \to\ \frac{k}{2}\cdot \Delta x^2 = m\cdot g\cdot h_D + \mu\cdot m\cdot g\cdot d\cdot cos\ \beta

Es necesario que expreses la distancia que recorre por el plano en función de la altura que alcanza. De ese modo puedes despejar el valor de la altura quedando la siguiente ecuación:

\frac{k\cdot \Delta x^2}{2} = mg \left(h_D + \mu\cdot \frac{h_D}{sen\ \beta}\cdot cos\ \beta\right)\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{h_D = \frac{k\cdot \Delta x^2}{2mg(1 + \mu\cdot ctg\ \beta)}}}

Ahora puedes calcular el valor de la altura:

h_D = \frac{1\ 450\ \frac{N}{m}\cdot 0.635^2\ m^2}{2\cdot 15\ kg\cdot 9.8\ \frac{m}{s^2}(1 + 0.25\cdot 1.73)} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 1.47\ m}}