Demostración de la ecuación de la energía mecánica de un satélite (7955)

, por F_y_Q

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Demuestra que la energía mecánica que tiene un satélite de masa m en órbita circular alrededor de un planeta de masa M y radio R es:

E_M = -\frac{GMm}{2(R+h)}

donde h es la altura a la que se halla el satélite de la superficie del planeta.

P.-S.

A partir de la definición de la energía mecánica:

E_M = E_C + E_P\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{E_M = \frac{1}{2}m\cdot v^2 - \frac{GMm}{(R + h)}}}

Si sustituyes el valor de la velocidad orbital del satélite a la altura dada:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{v = \sqrt{\frac{GM}{R + h}}}}

Obtienes:

E_M = \frac{m}{2}\cdot \frac{GM}{(R + h)} - \frac{GMm}{(R + h)}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{E_M = - \frac{GMm}{2(R + h)}}}}