Ecuación de la velocidad de un prisma que desliza por un plano inclinado (7258)

, por F_y_Q

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Un prisma de masa m desliza hacia abajo por un plano inclinado, deteniéndose completamente al llegar al punto más bajo. Se sabe que el coeficiente de rozamiento cinético entre las superficies del prisma y el plano es 0.60 y que la diferencia del altura entre el punto más alto y el más bajo es de 2.6 m. Escribe la ecuación de la velocidad del prisma en función del tiempo y represéntala gráficamente.

P.-S.

Si haces un balance de energía mecánica entre A y B y lo igualas al trabajo de rozamiento:

\left E_M(A) = mgh_A + \frac{m\cdot v_0^2}{2} = m\big(gh_A + \frac{v_0}{2}\big) \atop E_M(B) = 0 \right \}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{\Delta E_M = m\big(gh_A + \frac{v_0}{2}\big)}}

W_R = F_R\cdot d_{AB} = \mu\cdot m\cdot g\cdot d_{AB}\cdot cos\ 15^o

\Delta E_M = W_R\ \to\ \cancel{m}\big(gh_A + \frac{v_0}{2}\big) = \mu\cdot \cancel{m}\cdot g\cdot d_{AB}\cdot cos\ 15^o

La distancia entre A y B la puedes escribir en función de la altura de A y el ángulo de inclinación. Sustituyes en la ecuación anterior y despejas:

\big(gh_A + \frac{v_0}{2}\big) = \mu\cdot g\cdot \frac{h_A}{sen\ 15^o}\cdot cos\ 15^o\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{v_0 = \sqrt{\Big[\frac{\mu\cdot g\cdot h_A}{tg\ 15^o} - g\cdot h_A\Big]\cdot 2}}}

Al sustituir los datos y calcular obtienes:

v_0 = \sqrt{\Big[\frac{0.6\cdot 9.8\ \frac{m}{s^2}\cdot 2.6\ m}{tg\ 15^o} - 9.8\ \frac{m}{s^2}\cdot 2.6\ m\Big]\cdot 2} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{7.95\ \frac{m}{s}}}

La aceleración con la desciende el prisma la obtienes aplicando la segunda ley de Newton, dado que solo actúan sobre el prisma la componente "x" del peso y la fuerza de rozamiento:

\cancel{m}\cdot g\cdot sen\ 15^o - \mu\cdot \cancel{m}\cdot g\cdot cos\ 15^o = \cancel{m}\cdot a\ \to\ a = 9.8\ \frac{m}{s^2}\big(sen\ 15^o - 0.6\cdot cos\ 15^o\big) = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{-3.14\ \frac{m}{s^2}}}

La ecuación de la velocidad en función del tiempo es:

\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf v = 7.95 - 3.14t}}


La gráfica la puedes ver con más detalle si clicas sobre la miniatura.