Fuerza gravitatoria sobre una masa debida a otras dos en un triángulo rectángulo isósceles

, por F_y_Q

En los extremos de un triángulo rectángulo se tienen tres masas: m_1 = 80\ kg , m_2 = 60\ kg y m_3 =  100\ kg . Las masas m _1 y m _3 están ubicadas en los extremos de la hipotenusa, cuya medida es de 18 cm, y m _2 está ubicada en el vértice del ángulo recto, siendo un triángulo rectángulo isósceles. Calcula la fuerza gravitatoria resultante sobre m _2 debido a las otras dos masas.


SOLUCIÓN:

En primer lugar debes hacer un esquema de la situación descrita: Las fuerzas entre las masas 1 y 2 y la 3 serán:

F_{13} = G\cdot \frac{m_1\cdot m_3}{d^2}

F_{23} = G\cdot \frac{m_2\cdot m_3}{l^2}

Sabes que la distancia d es igual a 0.18 m, la distancia l será:

d = \sqrt{l^2 + l^2}\ \to\ l = \frac{d}{\sqrt{2}}  =0.127\ m

Las fuerzas son vectores, con lo que es necesario expresar las módulos anteriores como componentes de los vectores. Los ángulos no rectos son iguales entre sí e iguales a 45 ^o:

\vec F_{23} = 6.67\cdot 10^{-11}\ \frac{N\cdot \cancel{m^2}}{\cancel{kg^2}}\cdot \frac{60\ \cancel{kg}\cdot 100\ \cancel{kg}}{0.127^2\ \cancel{m^2}}\ \vec i\ \to\ \color{blue}{\vec F_{23} = 2.48\cdot 10^{-5}\ \vec i\ (N)}

\vec F_{13} = \Big(6.67\cdot 10^{-11}\ \frac{N\cdot \cancel{m^2}}{\cancel{kg^2}}\cdot \frac{80\ \cancel{kg}\cdot 100\ \cancel{kg}}{0.18^2\ \cancel{m^2}}\Big)\Big(cos\ 45\ \vec i + sen\ 45\ \vec j\Big)
\color{blue}{\vec F_{13} = 1.16\cdot 10^{-5}\ \vec i + 1.16\cdot 10^{-5}\ \vec j\ (N)}

Solo queda sumar las fuerzas componente a componente para obtener la fuerza resultante y su módulo:

\vec F_T = (2.48 + 1.16)\cdot 10^{-5}\ \vec i + 1.16\cdot 10^-5}\ \vec j = \fbox{\color{red}{\bm{3.64\cdot 10^{-5}\ \vec i + 1.16\cdot 10^{5}\ \vec j}}}


F_T = \sqrt{(3.64\cdot 10^{-5})^2 + (1.16\cdot 10^{-5})^2} = \fbox{\color{red}{\bm{3.82\cdot 10^{5}\ N}}}