Masa atómica del sodio sabiendo su celda unidad, su densidad y el valor de la arista

, por F_y_Q

Calcula la masa atómica del sodio, sabiendo que su densidad es 0.968\ \textstyle{g\over cm^3} y que tiene una estructura cristalina centrada en el cuerpo (BCC), con arista de 6.24\ \r{A}.


SOLUCIÓN:

Para una celda unidad centrada en el cuerpo el número de átomos por celda es 2 y la relación entre la arista de la celda y el radio atómico es:
a = \frac{4r}{\sqrt{3}}
Podemos escribir el radio de los átomos en función del valor de la arista de la celda:
r = \frac{\sqrt{3}\cdot a}{4}
La masa del sodio se puede escribir en función de la densidad y el volumen del átomo, suponiéndolo esférico:
\rho = \frac{m}{V}\ \to\ m = \rho\cdot V = \rho\cdot \frac{4\pi}{3}r^3
Sustituimos y calculamos:
m = 0.968\frac{\cancel{g}}{\cancel{cm^3}}\cdot \frac{4\pi}{3}\left(\frac{3\sqrt{3}\cdot a^3}{4^3}\right)\ \cancel{cm^3}\cdot \frac{1\ u}{1.66\cdot 10^{-24}\ \cancel{g}}
Vamos a obtener el dato buscado en unidad de masa atómica (u):

m = \frac{0.968\sqrt{3}\pi}{16}\cdot \frac{2.43\cdot 10^{-22}}{1.66\cdot 10^{-24}} = 48.2\ u


Pero debemos recordar que la celda unidad contiene 2 átomos de sodio, por lo que el dato que hemos obtenido debe ser dividido por dos:

m_{Na} = \frac{48.2\ u}{2} = \bf 24.1\ u