Masa de la Tierra a partir del periodo orbital de la Luna (7690)

, por F_y_Q

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La distancia entre la Tierra y la Luna es aproximadamente de 380 000 km y el periodo de la órbita de la Luna, de 27.3 días. Con estos datos calcula la masa de la Tierra.

P.-S.

La velocidad orbital de la Luna la puedes obtener si consideras que la fuerza de atracción gravitatoria entre la Luna y la Tierra es igual a la fuerza centrípeta (suponiendo que la órbita es circular y la velocidad constante):

F_G = F_{ct}\ \to\ \frac{G\cdot M_T\cdot \cancel{M_L}}{d_{T-L}\cancel{^2}} = \cancel{M_L}\cdot \frac{v_{orb}^2}{\cancel{d_{T-L}}}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{v_{orb}^2 = \frac{G\cdot M_T}{d_{T-L}}}}

Por otro lado, el periodo orbital puede ser escrito en función de la velocidad orbital:

\left v_{orb} = \omega\cdot d_{T-L} \atop \omega = \dfrac{2\pi}{T} \right \}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{v_{orb} = \frac{2\pi\cdot d_{T-L}}{T}}}

Si elevas al cuadrado la expresión obtenida y la igualas con la anterior puedes despejar el valor de la masa de la Tierra:

\frac{G\cdot M_T}{d_{T-L}} = \frac{4\pi^2\cdot d_{T-L}^2}{T^2}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{M_T = \frac{4\pi^2\cdot d_{T-L}^3}{G\cdot T^2}}}

Sustituyes los datos del enunciado en la ecuación, pero cuidando de que las unidades sean las correctas, y calculas:

M_T = \frac{4\pi^2\cdot (3.8\cdot 10^8)^3\ m\cancel{^3}}{6.67\cdot 10^{-11}\ \frac{N\cdot \cancel{m^2}}{kg^2}\cdot (2.36\cdot 10^6)^2\ s^2} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{5.83\cdot 10^{24}\ kg}}}