Masa de una estrella sabiendo la velocidad y el periodo orbital de un planeta

, por F_y_Q

El 15 de octubre de 2001, se descubrió un planeta orbitando alrededor de la estrella HD 68988. Su distancia orbital se midió en 10.5 millones de kilómetros a partir del centro de la estrella, y su periodo orbital se estimó en 6.3 días. ¿Cuál es la masa de HD 68988? Expresa tu respuesta en kilogramos y en términos de la masa del Sol.

Dato: M_S = 1.99\cdot 10^{30}\ kg


SOLUCIÓN:

El periodo orbital puedes expresarlo como:

T_{\text{orb}} = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi\cdot d}{v_{\text{orb}}}

La velocidad orbital viene dada en función de la distancia orbital y la masa de la estrella:

v_{\text{orb}} = \sqrt{\frac{G\cdot M}{d}}

Sustituyendo esta velocidad en la primera ecuación y despejando el valor de la masa, obtienes:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{M = \frac{4\pi^2\cdot d^3}{G\cdot T^2}}}

Solo tienes que sustituir los datos del enunciado pero expresados en unidades SI:

M = \frac{4\pi^2\cdot (10.5\cdot 10^9)^3\ m^3}{6.67\cdot 10^{-11}\ \frac{N\cdot m^2}{kg^2}\cdot (5.44\cdot 10^5)^2\ s^2} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{2.31\cdot 10^{30}\ kg}}}


Si divides el valor que obtienes entre la masa del Sol, obtienes:

\frac{M}{M_S} = \frac{2.31\cdot 10^{30}\ \cancel{kg}}{1.99\cdot 10^{30}\ \cancel{kg}}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{M = 1.16M_S}}}