Olimpiada de física 2019: densidad promedio de un planeta

, por F_y_Q

¿Cuál es la densidad promedio de un planeta esférico en el que el día dura 10.0 h y en su ecuador los cuerpos se encuentran en el estado de ingravidez, expresada en unidades SI?

Dato: G = 6.67\cdot 10^{-11}\ N\cdot m^2\cdot kg^{-2}.


SOLUCIÓN:

La densidad del planeta será el cociente entre su masa y su volumen que, al ser esférico, se corresponde con el volumen de una esfera. La podemos escribir como:

\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi\cdot R^3} = \frac{3M}{4\pi\cdot r^3

Si los cuerpos están en ingravidez en el ecuador querrá decir que la aceleración de la gravedad del planeta es igual a la aceleración centrípeta debida a su rotación:

\frac{v^2}{R} = G\cdot \frac{M}{R^2}\ \to\ M = \frac{R\cdot v^2}{G}

La velocidad de rotación es:

v = \frac{2\pi\cdot R}{t}

Podemos sustituir en la fórmula de ladensidad del planeta el valor de la masa y de la velocidad de rotación:

\rho = \frac{3Rv^2}{4\pi R^3G} = \frac{3\ \cancel{R}\cdot \cancel{4}\cdot \pi\cancel{^2}\cdot \cancel{R^2}}{\cancel{4} \cancel{\pi} \cancel{R^3}\cdot G\cdot t^2}

Sustituimos los datos en la ecuación y calculamos:

\rho= \frac{3\pi}{G\cdot t^2} = \frac{3\pi}{6.67\cdot 10^{-11}\ \frac{N\cdot m^2}{kg^2}\cdot (3.6\cdot 10^4)^2\ s^2} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{109\ kg\cdot m^{-3}}}}