Presiones parciales y cantidad de producto formado en un equilibrio heterogéneo (8434)

, por F_y_Q

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En un reactor de 5 litros se introduce una mezcla de óxido de hierro(III) sólido y monóxido de carbono gaseoso a una temperatura de 1 000 K. Se establece el siguiente equilibrio heterogéneo:

\ce{Fe2O3(s) + 3CO(g) <=> 2Fe(s) + 3CO2(g)}

Se sabe que, a 1 000 K, la constante de equilibrio \ce{K_P} = 0.072. Inicialmente, se introducen 2 moles de CO y una cantidad suficiente de \ce{Fe2O3} en el reactor:

a) Calcula la presión parcial de CO y \ce{CO2} en el equilibrio.

b) Determina la cantidad de Fe formado en el equilibrio.

c) Si se añade más CO al sistema en equilibrio, ¿cómo afectará esto a la cantidad de Fe formado? Justifica tu respuesta utilizando el principio de Le Chatelier.

Datos: R = 0.082\ \text{atm}\cdot L\cdot {\text{mol}}^{-1}\cdot K^{-1} ; M_{\ce{Fe}} = 55.85\ g\cdot \text{mol}^{-1}

P.-S.

a) Conoces el valor de la constante de equilibrio para la reacción:

{\color[RGB]{2,112,20}{\bm{K_P = \frac{(p_{\ce{CO2}})^3}{(p_{\ce{CO}})^3}}}} = {\color[RGB]{0,112,192}{\bf 0.072}}

Defines «x» como la presión parcial del \ce{CO2} en el equilibrio. De este modo, la presión en el equilibrio para el CO será la diferencia entre la presión inicial y «x». Puedes calcular la presión inicial porque es el único reactivo gaseoso:

P_{\ce{CO}_i} = \frac{nRT}{V} = \frac{2\ \cancel{\text{mol}}\cdot 0.082\ \text{atm} \cdot \cancel{\text{L}} \cdot \cancel{\text{mol}^{-1}} \cdot \cancel{\text{K}^{-1}}\cdot 10^3\ \cancel{\text{K}}}{5\ \cancel{\text{L}}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 32.8\ atm}

Sustituyes en la ecuación de la constante de equilibrio y obtienes:

{\color[RGB]{2,112,20}{\bm{0.072 = \frac{x^3}{(32.8 - x)^3}}}}\ \ \text{(Ec.1)}

La ecuación que obtienes es de tercer grado. Puedes resolverla usando una calculadora que tenga esa opción o hacerlo por aproximaciones sucesivas. Este modo es bueno si no dispones de calculadora programable o no puedes usarla. Si necesitas ver cómo aplicarlo, puedes verlo al final de la resolución del problema.

El valor que obtienes de «x» es 9.6 atm, por lo que las presiones parciales en el equilibrio son:

\left P_{\ce{CO}} = (23.8 - 9.6)\ \text{atm} = {\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 23.2\ atm}}} \atop P_{\ce{CO2}} = {\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 9.6\ atm}}}


b) Utilizando la presión parcial de \ce{CO2} en el equilibrio, puedes calcular los moles de hierro producidos. Si tienes en cuenta la estequiometría de la reacción y la ecuación de los gases ideales obitenes la ecuación:

n_{\ce{Fe}} = \frac{2}{3}n_{\ce{CO2}}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{n_{\ce{Fe}} = \frac{2P_{\ce{CO2}}\cdot V}{3RT}}}

Sustituyes los datos y calculas los moles de hierro:

n_{\ce{Fe}} = \frac{2\cdot 9.6\ \cancel{\text{atm}}\cdot 5\ \cancel{\text{L}}}{3\cdot 0.082\ \cancel{\text{atm}}\cdot \cancel{\text{L}}\cdot \text{mol}^{-1} \cdot \cancel{\text{K}}^{-1}\cdot 10^3\ \cancel{\text{K}}} = \color[RGB]{0,112,192}{\textbf{0.39 mol de Fe}}

La masa de hierro que se obtiene es un cálculo inmediato con el dato de la masa molar:

m_{\ce{Fe}} = n_{\ce{Fe}}\cdot M_{\ce{Fe}} = 0.39\ \cancel{\text{mol}}\cdot 55.85\ \frac{\text{g}}{\cancel{\text{mol}}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\textbf{21.78 g de Fe}}}


c) Según el principio de Le Chatelier, si se añade más reactivo, el sistema se desplazará hacia la derecha para consumir ese exceso, lo que implica que se producirán más productos. Esto quiere decir que aumentará la cantidad de hierro que se forma.

RESOLUCIÓN DE LA EC.1 POR APROXIMACIONES SUCESIVAS.

Si despejas el valor de «x» del numerador en la ecuación, obtienes:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{x_{n+1} = \sqrt[3]{0.072(32.8 - x_n)^3}}}

Hay dos consideraciones previas que te ayudarán a arrancar con este método: i) observa que «x» tiene que ser un valor menor que 32.8 para que el paréntesis no sea cero, ii) como el valor del cociente es pequeño, «x» tiene que ser bastante menor que 32.8.
Hechas estas dos consideraciones, puedes empezar por un valor inicial de 7 atm y aplicar hacer la primera aproximación:

x_1 = \sqrt[3]{0.072(32.8-7)^3} = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 10.7\ atm}

Segunda aproximación. Ahora tomas este valor y lo introduces otra vez en la ecuación:

x_2 = \sqrt[3]{0.072(32.8-10.7)^3} = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 9.19\ atm}

Tercera aproximación. Repites el proceso con el valor anterior:

x_3 = \sqrt[3]{0.072(32.8-9.19)^3} = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 9.82\ atm}

Haces lo mismo en sucesivas aproximaciones y obtienes los siguientes resultados:

x_4 = \sqrt[3]{0.072(32.8-9.82)^3} = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 9.56 atm}
x_5 = \sqrt[3]{0.072(32.8-9.56)^3} = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 9.66\ atm}
x_6 = \sqrt[3]{0.072(32.8-9.66)^3} = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 9.63\ atm}

Como puedes ver, el valor se aproxima mucho a «x = 9.6 atm», que es valor que tomas como solución de la ecuación para poder seguir con el desarrollo del problema.