Radio en el que se dispersan los perdigones disparados por una escopeta

, por F_y_Q

Una escopeta dispara muchos perdigones hacia arriba. Algunos viajan casi verticalmente, pero otros se desvían hasta 1.0^o de la vertical. Supón que la rapidez inicial de todos los perdigones es uniforme e igual a 150 m/s e ignora la resistencia del aire.

a) ¿En qué radio del punto de disparo caerán los perdigones?

b) Si hay 1000 perdigones y se distribuyen uniformemente en el círculo del radio calculado en el inciso anterior, ¿qué probabilidad hay de que al menos un perdigón caiga en la cabeza de quien dispara? (Suponga que la cabeza tiene 10 cm de radio.).

c) En realidad, la resistencia del aire tiene varios efectos: frena los perdigones al subir, reduce la componente horizontal de su velocidad y limita la rapidez con que caen. ¿Cuál de esos efectos tenderá a hacer el radio mayor que el calculado en a) y cuál tenderá a reducirlo? ¿Qué efecto global cree que tendrá la resistencia? (Su efecto sobre una componente de velocidad se incrementa al aumentar la magnitud de la componente).


SOLUCIÓN:

a) Para determinar el radio del desvío de los perdigones tenemos que considerar la mayor desviación posible, es decir, 1^o. Calculamos las componentes iniciales de la velocidad de los perdigones que se desvían:
v_x = v_0\cdot sen\ \alpha = 150\frac{m}{s}\cdot sen\ 1^o = 2.62\ \frac{m}{s}
v_y = v_0\cdot cos\ \alpha = 150\frac{m}{s}\cdot cos\ 1^o = 149.98\ \frac{m}{s}
Necesitamos conocer el tiempo que están en el aire los perdigones para poder determinar el alcance en x que sufren. El tiempo de vuelo es el doble del tiempo de subida (en ausencia de rozamiento). El tiempo de subida se puede obtener imponiendo la condición de que la velocidad en el eje Y es cero:
\cancelto{0}{v_y} = v_{0y} - gt_s\ \to\ t_s = \frac{v_{0y}}{g}
Si multiplicamos por dos esta ecuación y sustituimos, obtenemos el tiempo que están los perdigones en el aire:
t_v = 2t_s = \frac{2\cdot v_{0y}}{g} = \frac{2\cdot 149.98\frac{\cancel{m}}{\cancel{s}}}{9,8\frac{\cancel{m}}{s\cancel{^2}}} = 30.6\ s
El radio en el que se dispersan los perdigones se obtiene al hacer la posición en x con el tiempo de vuelo:

x_{m\acute{a}x} = v_{0x}\cdot t_v = 2.62\frac{m}{\cancel{s}}\cdot 30.6\ \cancel{s} = \bf 80.17\ m


b) La probabilidad de que algún perdigón le dé en la cabeza al que dispara, considerando un total de 1 000 perdigones, la obtenemos a partir del cociente de las áreas del círculo en el que se dispersan los perdigones y del área de la cabeza del disparador, para el caso de los mil perdigones:

p(\%) = \left(\frac{A_c}{A_p}\cdot 10^3\right)\cdot 100 = \left(\frac{\cancel{\pi}\cdot 0,1^2\ \cancel{m^2}}{\cancel{\pi}\cdot 80.17^2\ \cancel{m^2}}\cdot 10^3\right)\cdot 100 = \bf 0,155\%


c) La disminución de la velocidad provocará un aumento en el tiempo de vuelo, lo que implicaría un aumento del radio de dispersión de los perdigones.
La reducción de la componente horizontal de los perdigones tiene como efecto que disminuya el radio de dispersión porque son directamente proporcionales.
El efecto de la resistencia del aire implicaría que el radio de dispersión se redujera porque los perdigones subirían menos y el tiempo de vuelo apenas variaría, siendo la disminución de la componente horizontal el factor predominante.