Repaso: aceleración y tensión de la cuerda que une dos cuerpos (6040)

, por F_y_Q

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Dado el siguiente esquema:

a) Señala todas las fuerzas presentes en él.

b) Determina la aceleración del sistema, y la tensión de la cuerda, si las masas son iguales y de 10 kg y el coeficiente de rozamiento es \mu = 0.1

P.-S.

a) Para poder pintar todas las fuerzas es necesario indicar un sentido del movimiento del sistema. En la solución se ha supuesto que el sistema se desplaza según el sentido de la flecha curva que apunta hacia el descenso del cuerpo 1, siendo entonces la fuerza de rozamiento la que se muestra porque siempre se opone al movimiento.

El esquema con todas las fuerzas presentes queda como muestra la siguiente figura:


b) La aceleración la puedes obtener si aplicas la segunda ley de la dinámica a la dirección del movimiento. Debes considerar positivas las fuerzas que coinciden con el sentido del movimiento y negativas las que se oponen a él. Recuerda que las componentes «x» e «y» del peso están escritas en función del ángulo del plano inclinado:

m_1\cdot g - m_2\cdot g\cdot sen\ 30 - \mu\cdot m_2\cdot g\cdot cos\ 30 + \cancel{T_2} - \cancel{T_1}= (m_1 + m_2)\cdot a

Las tensiones en los extremos de la cuerda son iguales y por eso puedes cancelarlas en la ecuación anterior. Si sacas factor común y despejas el valor de la aceleración del sistema, obtienes:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{a = \frac{g[m_1 - m_2(sen\ 30 + \mu\cdot cos\ 30)]}{(m_1 + m_2)}}}

Sustituyes en la ecuación anterior y calculas:

a = \frac{9.8\frac{m}{s^2}[10\ \cancel{kg} - 10\ \cancel{kg}(sen\ 30 + 0.1\cdot cos\ 30)]}{20\ \cancel{kg}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{2\ m\cdot s^{-2}}}}


Para calcular la tensión, una vez conocida la aceleración con la que se mueve el sistema, aislas uno de los cuerpos. Puedes hacerlo con el cuerpo 1 porque sobre él solo concurren dos fuerzas y será más simple. Aplicas la segunda ley de la dinámica otra vez, pero al cuerpo que estás considerando:

m_1\cdot g - T_1 = m_1\cdot a\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{T_1 = m_1(g - a)}}

El cálculo de la tensión es inmediato:

T_1 = 10\ kg (9.8 - 2)\ \frac{m}{s^2} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{78\ N}}}

RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA EN VÍDEO.

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