Repaso: aceleración y tensión de la cuerda que une dos cuerpos

, por F_y_Q

Dado el siguiente esquema:

a) Señala todas las fuerzas presentes en él.

b) Determina la aceleración del sistema, y la tensión de la cuerda, si las masas son iguales y de 10 kg y el coeficiente de rozamiento es \mu = 0.1


SOLUCIÓN:

a) Para poder pintar todas las fuerzas es necesario indicar un sentido del movimiento del sistema. En la solución se ha supuesto que el sistema se desplaza según el sentido de la flecha curva que apunta hacia el descenso del cuerpo 1, siendo entonces la fuerza de rozamiento la que se muestra porque siempre se opone al movimiento. El esquema con todas las fuerzas presentes queda como muestra la siguiente figura:

(Si clicas en la miniatura puedes ver el esquema con más detalle).
b) La aceleración la podemos obtener si aplicamos la segunda ley de la Dinámica a la dirección del movimiento. Debemos considerar positivas las fuerzas que coinciden con el sentido del movimiento y negativas las que se oponen a él. Rrecordemos que las componentes "x" e "y" del peso están escritas en función del ángulo del plano inclinado:

m_1\cdot  g - m_2\cdot g\cdot sen\ 30 - \mu\cdot m_2\cdot g\cdot cos\ 30 + \cancel{T_2} - \cancel{T_1} = (m_1 + m_2)\cdot a

Las tensiones en los extremos de la cuerda son iguales y por eso podemos eliminarlas de la ecuación anterior. Si sacamos factor común y despejamos el valor de la aceleración del sistema obtenemos:

a  = \frac{g[m_1 - m_2(sen\ 30 + \mu\cdot cos\ 30)]}{(m_1 + m_2)}

Sustituimos en la ecuación anterior y calculamos:

a = \frac{9.8\frac{m}{s^2}[10\ \cancel{kg} - 10\ \cancel{kg}(sen\ 30 + 0.1\cdot cos\ 30)]}{20\ \cancel{kg}} = \fbox{\color{red}{\bm{2\ \frac{m}{s^2}}}}


Para calcular la tensión, una vez conocida la aceleración con la que se mueve el sistema, aislamos uno de los cuerpos, voy a hacerlo con el cuerpo 1 porque sobre él solo concurren dos fuerzas y será más simple, y aplicamos la segunda ley de la Dinámica otra vez:

m_1\cdot g - T_1  = m_1\cdot a\ \to\ T_1 = m_1(g - a)

El cálculo de la tensión es inmediato:

T_1 = 10\ kg(9.8 - 2)\ \frac{m}{s^2} = \fbox{\color{red}{\bm{78\ N}}}

RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA EN VÍDEO.