Valores de g en la superficie de la Tierra cuando varían la masa, volumen o densidad

, por F_y_Q

Calcula los valores de g en la superficie de la Tierra para los siguientes cambios en las propiedades de la Tierra:

a) Su masa se duplica y su radio se reduce a la mitad.

b) Su densidad se duplica y la radio no cambia.

c) Su densidad se reduce a la mitad y su masa no cambia.


SOLUCIÓN:

Para poder obtener el valor de g* indicado vamos a compararlo con el valor de g conocido.
a) Debemos tener en cuenta que M^* = 2M y que R^* = \textstyle{R\over 2}:
\frac{g^*}{g} = \frac{\frac{GM^*}{R^*^2}}{\frac{GM}{R^2}}

\frac{g^*}{g} = \frac{\frac{\cancel{G}\cdot 2\cancel{M}}{\frac{\cancel{R^2}}{4}}}{\frac{\cancel{G}\cdot \cancel{M}}{\cancel{R^2}}}\ \to\ g^* = 8g = 8\cdot 9,8\ \frac{m}{s^2} = \bf 78,4\ \frac{m}{s^2}


b) Ahora \rho^* = 2\rho. Al ser R* = R, los volúmenes son iguales, es decir, V* = V. Escribimos las masas M* y M en función de la densidad y el volumen:
\frac{g^*}{g} = \frac{\frac{G\rho^*V^*}{R^*^2}}{\frac{G\rho V}{R^2}}

\frac{g^*}{g} = \frac{\frac{\cancel{G}\cdot 2\cancel{\rho}\cdot \cancel{V}}{\cancel{R^2}}}{\frac{\cancel{G}\cdot \cancel{\rho}\cdot \cancel{V}}{\cancel{R^2}}}\ \to\ g^* = 2g = 2\cdot 9,8\ \frac{m}{s^2} = \bf 19,6\ \frac{m}{^2}


c) Ahora tenemos que considerar que \rho^* = \textstyle{\rho\over 2} y M* = M. Como la masa es la misma, los volúmenes tienen que seguir la relación:
\frac{M}{V^*} = \frac{1}{2}\cdot \frac{M}{V^*}\ \to\ V^* = 2V
Esto significa que los radios deben seguir la misma relación, es decir, R* = 2R:

\frac{g^*}{g} = \frac{\frac{\cancel{GM}}{(2R)^2}}{\frac{\cancel{GM}}{R^2}}\ \to\ \frac{g^*}{g} = \frac{\cancel{R^2}}{4\cancel{R^2}}}\ \to\ g^* = \frac{g}{4} = \frac{9,8}{4}\frac{m}{s^2} = \bf 2,45\ \frac{m}{s^2}