Velocidad y periodo orbital de la Luna (4336)

, por F_y_Q

La Luna describe una órbita aproximadamente circular en torno a la Tierra con una distancia entre los centros de ambos cuerpos de d = 384 400 km. La masa de la Luna es 81 veces menor que la de la Tierra. Calcula la velocidad orbital de la Luna y el periodo (tiempo que tarda en una vuelta) en días de la Luna en torno a la Tierra, si ha de recorrer con esa velocidad una distancia igual a la longitud de la circunferencia de su órbita.


SOLUCIÓN:

La fuerza de atracción gravitatoria es:

F_G  = G\cdot \frac{M_T\cdot M_T}{81d^2}

La fuerza centrípeta, como consecuencia del giro, es:

F_{ct} =  \frac{M_T}{81}\cdot \frac{v^2}{d}.

Se debe cumplir que ambas magnitudes sean iguales:

G\cdot \frac{M_T^2}{81d^2} = \frac{M_T\cdot v^2}{81d}

Simplificando obtenemos:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{v  = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{d}}}

v = \sqrt{\frac{6.674\cdot 10^{-11}\frac{N\cdot m\cancel{^2}}{kg^2}\cdot 5.972\cdot 10^{24}\ kg}{3.844\cdot 10^8\ \cancel{m}}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{1.018\cdot 10^3\ \frac{m}{s}}}}


El periodo orbital se puede calcular a partir de la velocidad orbital:

v = \frac{2\pi d}{T}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{T = \frac{2 \pi d}{v}}}

Sustituyendo y haciendo la conversión del resultado a días:

T = \frac{2\pi\cdot  3.844\cdot 10^8\ \cancel{m}}{1.018\cdot 10^3\ \frac{\cancel{m}}{\cancel{s}}}\cdot \frac{1\ d\acute{\imath}a}{86\ 400\ \cancel{s}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{27.43\ d\acute{\imath}as}}}