Capacitores conectados en serie y en paralelo (7104)

, por F_y_Q

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Tres capacitores con capacitancias de 8.4, 8.4 y 4.2 mF están conectados en serie a través de una diferencia de potencial de 36 V.

a) ¿Cuál es la carga en el capacitor de 4.2 mF?

b) ¿Cuál es la energía total almacenada en los tres capacitores?

c) Los capacitores se desconectan de la diferencia de potencial sin permitir que se descarguen. Después se vuelven a conectar en paralelo entre sí, con las placas con carga positiva conectadas. ¿Cuál es el voltaje a través de cada capacitor en la combinación en paralelo?

d) ¿Cuál es la energía total que ahora está almacenada en los capacitores?

P.-S.

a) Como los capacitores están conectados en serie, la carga es la misma en todos ellos y la puedes obtener si haces la capacidad equivalente de la asociación:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}}}

Sustituyes los datos, teniendo en cuenta que hay dos condensadores con la misma capacidad, y calculas:

\frac{1}{C_{eq}} = \left(\frac{2}{8.4} + \frac{1}{4.2}\right)\ \frac{1}{mF} = \frac{1}{2.1}\ \frac{1}{mF}\ \to\ \color[RGB]{0,112,192}{\bm{C_{eq} = 2.1\ mF}}

La carga de la asociación es:

C_{eq} = \frac{Q}{\Delta V}\ \to\ Q = C_{eq}\cdot \Delta V\ \to\ Q = 2.1\cdot 10^{-3}\ F\cdot 36\ V = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{7.56\cdot 10^{-2}\ C}}}


b) La energía total será suma de las energías almacenadas en cada condensador:

U_T = \frac{1}{2}\cdot Q_1\cdot \Delta V_1 + \frac{1}{2}\cdot Q_2\cdot \Delta V_2 + \frac{1}{2}\cdot Q_3\cdot \Delta V_3 = \color[RGB]{2,112,20}{\bm{\frac{1}{2}\cdot Q\left(\Delta V_1 + \Delta V_2 + \Delta V_3\right)}}

Recuerda que las cargas de cada capacitor son iguales y también sabes que la suma de las diferencia de potencial es igual a la diferencia de potencial aplicada a la asociación:

U_T = \frac{1}{2}\cdot Q\cdot \Delta V_T = 7.56\cdot 10^{-2}\ C\cdot 36\ V = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 1.36\ J}}


c) Al conectarlo ahora en paralelo lo que será igual en todos ellos será la diferencia de potencial, mientras que la carga total será la suma de la carga de cada uno, que se distribuye por las placas positivas:

Q_T = Q_1 + Q_2 + Q_3 = 3\cdot 7.56\cdot 10^{-2}\ C = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 0.227\ C}

Para conocer el voltaje en cada capacitor necesitas saber cómo se redistribuye la carga por cada uno de ellos. Las capacidades del primer y segundo capacitor son iguales y también lo son las diferencias de potencial por lo que las cargas en ambos son iguales: \color[RGB]{2,112,20}{\bm{Q_1 + Q_2}} .

La capacidad del tercer capacitor es la mitad que la de los dos primeros pero sus potenciales son iguales:

V_1 = V_3\ \to\ \frac{Q_1}{C_1} = \frac{Q_3}{C_3}\ \to\ \frac{Q_1}{2\cdot \cancel{C_3}} = \frac{Q_3}{\cancel{C_3}}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{Q_1 = 2Q_3}}

La carga total, expresada en función de la carga del tercer capacitor es:

Q_T = 2Q_3 + 2Q_3 + Q_3 = 5Q_3\ \to\ Q_3 = \frac{0.227\ C}{5} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{4.54\cdot 10^{-2}\ C}}

Ahora puedes calcular las diferencias de potencial de cada uno:

\Delta V_3 = \frac{Q_3}{C_3} = \frac{4.54\cdot 10^{2}\ C}{4.2\cdot 10^{-3}\ F} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 10.8\ V}}


Observa que la suma de los potenciales NO es igual al potencial al que se conectaron al principio. Esto provocará que la energía tampoco sea igual.

d) Ahora puedes escribir la energía total en función de la diferencia de potencial común a todos ellos y la suma de sus cargas:

U_T = \frac{\Delta V}{2}\left(Q_1 + Q_2 + Q_3\right) = \frac{\Delta V}{2}\cdot 5Q_3 = \frac{10.8\ V}{2}\cdot 5\cdot 0.227\ C = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 1.23\ J}}