Circuito con inductancia que es alimentado por un capacitor (7822)

, por F_y_Q

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Se carga un capacitor de 25\ \mu F por medio de una fuente de energía eléctrica de 300 V. Una vez que el capacitor se ha cargado totalmente, se desconecta de la fuente de energía y se conecta a los bornes de una inductancia de 10 mH. Considera que el circuito tiene resistencia despreciable. Calcula:

a) La frecuencia y el periodo de oscilación del circuito.

b) La carga del capacitor y la corriente del circuito cuando han pasado 1.5 ms tras la conexión al inductor.

P.-S.

a) La frecuencia de oscilación la puedes calcular a partir de los datos de capacidad e inductancia:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\omega = \sqrt{\frac{1}{L\cdot C}}}}

Basta con que sustituyas y calcules:

\omega = \sqrt{\frac{1}{10^{-2}\ H\cdot 2.5\cdot 10^{-5}\ F}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{2\cdot 10^3\ \frac{rad}{s}}}

La frecuencia es:

f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{2\cdot 10^3\ \frac{\cancel{rad}}{s}}{2\pi\ \cancel{rad}}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 318\ Hz}}


El periodo es la inversa de la frecuencia calculada:

T = \frac{1}{f} = \frac{1}{318\ ^{-1}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{3.1\cdot 10^{-3}\ s}}}


b) La carga inicial del capacitador es:

q_0 = C\cdot V = 2.5\cdot 10^{-5}\ F\cdot 300\ V = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{7.5\cdot 10^{-3}\ C}}

La carga del capacitador cuando está conectado al circuito depende de la frecuencia según la ecuación:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{q = q_0\cdot cos(\omega\cdot t + \phi)}}

Al inicio, para el valor t = 0, la carga inicial es igual a la carga del circuito, es decir, el coseno es 1, por lo que \phi = 0. La ecuación anterior queda como:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{q = q_0\cdot cos(\omega\cdot t)}}

Para el tiempo dado en el enunciado:

q = 7.5\cdot 10^{-3}\ C\cdot cos(2\cdot 10^3\ \frac{rad}{\cancel{s}}\cdot 1.5\cdot 10^{-3}\ \cancel{s}) = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{-7.5\cdot 10^{-3}\ C}}}


La intensidad es la variación de la carga con respecto del tiempo:

i = \frac{dq}{dt}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{i = -\omega\cdot q_0\cdot sen(\omega\cdot t)}}

Sustituyes y calculas la intensidad:

i = -2\cdot 10^3\ \frac{rad}{s}\cdot 7.5\cdot 10^{-3}\ C\cdot sen(2\cdot 10^3\ \frac{rad}{\cancel{s}}\cdot 1.5\cdot 10^{-3}\ \cancel{s}) = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf - 10\ A}}

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