Conservación de la energía mecánica en un cuerpo que cae por un plano inclinado

, por F_y_Q

Un cuerpo de 4 kg cae desde una altura de 40 m por un plano inclinado 30 ^o con respecto a la horizontal. Si no existe rozamiento, calcula:

a) La energía mecánica del cuerpo en el instante inicial.

b) La velocidad del cuerpo a una altura de 10 m.

c) La velocidad del cuerpo al llegar al suelo.

d) Supongamos que hay rozamiento y que la velocidad al llegar al suelo es de 22 m/s ¿qué cantidad de energía se ha disipado por rozamiento?


SOLUCIÓN:

Para resolver el ejercicio vamos a tener en cuenta el principio de conservación de la energía mecánica.
a) Como el cuerpo parte de una altura de 40 m, y suponiendo que lo hace desde el reposo, la energía mecánica del cuerpo al inicio solo tendrá componente potencial:

E_M(1) = E_P(1) = mgh_1 = 4\ kg\cdot 9.8\ \frac{m}{s^2}\cdot 40\ m = \fbox{\color{red}{\bf 1\ 568\ J}}


b) Al estar ahora a 10 m de altura, parte de la energía potencial del inicio se ha transformado en energía cinética, pero siempre de manera que la suma de ambas energías sea igual a la energía mecánica inicial:

E_M(2) = E_M(1) = E_C(2) + E_P(2)\ \to\ E_C(2) = E_M(1) - E_P(2)\ \to\ \frac{m}{2}\cdot v_2^2 = E_M(1) - mgh_2

Despejas el valor de la velocidad y calculas:

v_2 = \sqrt{\frac{2(E_M(1) - mgh_2)}{m}} = \sqrt{\frac{2(1\ 568\ J - 4\kg\cdot 9.8\ \frac{m}{s^2}\cdot 10\ m)}{4\ kg}} = \fbox{\color{red}{\bm{24.2\ \frac{m}{s}}}}


c) Al llegar al suelo, la componente potencial de la energía será cero y solo habrá energía cinética:

E_M(1) = E_C(3) = \frac{m}{2}\cdot v_3^2\ \to\ v_3 = \sqrt{\frac{2E_M(1)}{m}}

Sustituyes y calculas el valor de la velocidad final:

v_3 = \sqrt{\frac{2\cdot 1\ 568\ J}{4\ kg}} = \fbox{\color{red}{\bm{28\ \frac{m}{s}}}}


d) Si calculas la energía cinética asociada a la velocidad dada y haces la diferencia con la energía mecánica inicial, podrás saber la energía que se ha disipado:

E_C = \frac{m}{2}\cdot v^2 = \frac{4\ kg}{2}\cdot 22^2\ \frac{m^2}{s^2} = \color{blue}{968\ J}

La energía disipada es:

E_d = E_M(1) - E_C = (1\ 568 - 968)\ J = \fbox{\color{red}{\bf 600\ J}}