Potencia y fuerza de una locomotora que asciende una pendiente (7305)

, por F_y_Q

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Una locomotora de 350 toneladas es acelerada mientras asciende por una pendiente desde el punto A hasta el punto B, aumentando su velocidad desde los 20\ \textstyle{km\over h} hasta los 60 \ \textstyle{km\over h}, como se puede ver en la figura:

Si el coeficiente de rozamiento es 0.15, determina:

a) La potencia desarrollada por la fuerza de rozamiento.

b) La potencia desarrollada por el peso.

c) La fuerza desarrollada por la locomotora.

d) La potencia desarrollada por la fuerza anterior.

P.-S.

Lo primero que debes hace es expresar los datos en unidades SI:

m = 350\ \cancel{t}\cdot \frac{10^3\ kg}{1\ \cancel{t}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{3.5\cdot 10^5\ kg}}

v_A = 20\ \frac{\cancel{km}}{\cancel{h}}\cdot \frac{10^3\ m}{1\ \cancel{km}}\cdot \frac{1\ \cancel{h}}{3.6\cdot 10^3\ s} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{5.56\ \frac{m}{s}}}

v_B = 60\ \frac{\cancel{km}}{\cancel{h}}\cdot \frac{10^3\ m}{1\ \cancel{km}}\cdot \frac{1\ \cancel{h}}{3.6\cdot 10^3\ s} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{16.7\ \frac{m}{s}}}

La distancia que recorre la locomotora sobre el plano es:

d_{AB} = \frac{425\ m}{sen\ 5^o} = 4\ 876\ m

Otro dato interesante es calcular la velocidad media de la locomotora para poder calcular las potencias en función de la fuerza y la velocidad según la ecuación:

P = \frac{W}{t} = \frac{F\cdot d}{t}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bf P = F\cdot v}

Basta con calcular la media aritmética de las velocidades inicial y final:

v_m = \frac{v_A + v_B}{2} = \frac{(5.56 + 16.7)\ \frac{m}{s}}{2} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{11.1\ \frac{m}{s}}}

a) En primer lugar calculas la fuerza de rozamiento:

F_R = \mu\cdot m\cdot g\cdot cos\ 5^o = 0.15\cdot 3.5\cdot 10^5\ kg\cdot 9.8\ \frac{m}{s^2}\cdot cos\ 5^o = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{5.13\cdot 10^5\ N}}

La potencia de la fuerza de rozamiento es:

P_{F_R} = F_R\cdot v_m = 5.13\cdot 10^5\ N\cdot 11.1\ \frac{m}{s} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{5.69\cdot 10^7\ W}}}


b) La potencia desarrollada por el peso hace referencia a la componente x del peso y es:

P_{p_x} = m\cdot g\cdot sen\ 5^o\cdot v_m = 3.5\cdot 10^5\ kg\cdot 9.8\ \frac{m}{s^2}\cdot sen\ 5^o\cdot 11.1\ \frac{m}{s} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{3.32\cdot 10^6\ W}}}


c) La fuerza de la locomotora tiene que ser la suma de la fuerza de rozamiento y la fuerza necesaria para que ascienda con la aceleración que lo hace:

v_B^2 = v_A^2 + 2ad\ \to\ a = \frac{v_B^2 - v_A^2}{2d} = \frac{(16.7^2 - 5.56^2)\ \frac{m\cancel{^2}}{s^2}}{2\cdot 4\ 876\ \cancel{m}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{2.54\cdot 10^{-2}\ \frac{m}{s^2}}}

F_T = F_R + m\cdot a = 5.13\cdot 10^5\ N + 3.5\cdot 10^5\ kg\cdot 2.54\cdot 10^{-2}\ \frac{m}{s^2} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{5.22\cdot 10^5\ N}}}


d) La potencia que desarrolla la locomotora es:

P_T = F_T\cdot v_m = 5.22\cdot 10^5\ N\cdot 11.1\ \frac{m}{s} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{5.82\cdot 10^7\ W}}}


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