Periodo para pequeñas oscilaciones de una masa en un campo unidimensional (6803)

, por F_y_Q

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Una partícula de masa «m» se encuentra en un campo potencial unidimensional, donde su energía depende de la coordenada «x» según la ley U = U_0 [1 - cos\ (ax)] , en donde «a» y «U _0» son constantes. Determina el periodo para pequeñas oscilaciones.

P.-S.

Si haces la derivada del potencial con respecto a «x» y la igualas a cero obtienes los valores de las posiciones de equilibrio:

\frac{dU}{dx}\ \to\ U_0\cdot a\cdot sen\ ax_{eq} = 0\ \to\ sen\ ax_{eq} = 0\ \to\ \color[RGB]{0,112,192}{\bm{x_{eq} = (0, \textstyle{\pi\over a}, \textstyle{2\pi\over a}, \textstyle{3\pi\over a}...)}}

Para que ese equilibrio sea estable, la derivada segunda del potencial tiene que ser mayor que cero, lo que sería un mínimo de energía potencial:

\frac{d^2U}{dx^2} = U_0\cdot a^2\cdot cos\ ax^{\prime}_{eq} > 0\ \to\ \color[RGB]{0,112,192}{\bm{x^{\prime}_{eq} = (0, \textstyle{2\pi\over a}, \textstyle{4\pi\over a}...)}}

La constante elástica es igual a la derivada segunda que acabas de calcular en el punto de equilibrio estable, es decir, cuando es máxima esa derivada. El periodo, que es lo que debes calcular, se puede escribir en función de esa constante:

{\color[RGB]{2,112,20}{\bm{T = \frac{2\pi}{\omega}}}} = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{k}{m}}} = 2\pi\cdot \sqrt{\frac{m}{k}}}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{T = 2\pi\cdot \sqrt{\frac{m}{U_0\cdot a^2}}}}}