Producto escalar de vectores y cosenos directores (2287)

, por F_y_Q

Dado el vector \vec A  = 4\vec i + 5\vec j - 2\vec k y conociendo que el módulo de B = 10 m y que sus ángulos directores son \alpha = 60 ^o , \beta > 90 ^o y \gamma = 120 ^o, determina el ángulo que forman el vector (A - B) con el vector B.


SOLUCIÓN:

Primero vamos a determinar las componentes del vector \vec  B:

cos\ \alpha = \frac{B_x}{B}\ \to\ B_x = B\cdot cos\ \alpha  = 10\cdot cos\ 60 = 5

cos\ \gamma = \frac{B_z}{B}\ \to\ B_z  = B\cdot cos\ \gamma = 10\cdot cos\ 120 = - 5

Los cosenos directores deben cumplir la siguiente condición:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{cos^2\ \alpha + cos^2\ \beta + cos^2\ \gamma = 1}}


Como los valores de los cosenos están al cuadrado, vemos que el cos\ \beta  = \frac{\sqrt 2}{2} . Pero debe ser negativo porque nos dicen que es un ángulo mayor que 90 ^o. Puede ser 225 ^o o 315 ^o, porque ambos ángulos cumplen con ambas condiciones.

B_y  = 10\cdot \frac{\sqrt 2}{2} = - 5\cdot \sqrt 2

Hacemos ahora el vector \vec C  = \vec A - \vec B:

\vec C  = (4-5)\vec i + (5 + 5\sqrt 2)\vec j + (-2+5)\vec k

Por comodidad trabajamos con números decimales para la componente "y" y calculamos el módulo de C:

C  = \sqrt{1^2 + 12.07^2 + 3^2} = 12.48
Al estar al cuadrado siempre nos queda positivo.

Ahora hacemos el producto escalar de los vectores \vec  B y \vec  C. Hay dos formas de hacer ese producto escalar:

\vec B\cdot \vec C  = B\cdot C\cdot cos\ \theta

\vec B\cdot \vec C  = B_x\cdot C_x + B_y\cdot C_y + B_z\cdot C_z

Igualando ambas expresiones y despejando cos\  \theta:

cos\ \theta = \frac{B_x\cdot C_x + B_y\cdot C_y + B_z\cdot C_z}{B\cdot C} = \frac{-105.33}{124.8}\ \to\ \theta = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{147.6^o}}}