Análisis de un lanzamiento vertical hacia arriba

, por F_y_Q

Desde el suelo se lanza verticalmente y hacia arriba un cuerpo con una velocidad inicial de 50 m/s. Determina:

a) ¿Cuánto tarda en alcanzar su altura maxima?

b) ¿Cuál es el valor de la altura máxima alcanzada?

c) ¿Cuál es la velocidad cuando haya ascendido 80 m?

d) ¿Cuánto ha ascendido cuando hayan transcurrido 3 s de lanzamiento?

e) ¿Al cabo de cuánto tiempo estará el cuerpo 60 m por encima del suelo?


SOLUCIÓN:

Se trata de un lanzamiento vertical hacia arriba. Como la velocidad inicial y la aceleración de la gravedad tienen sentidos contrarios, habrá que considerar distintos signo para cada una. Voy a tomar la velocidad inicial como positiva y la aceleración de la gravedad, por lo tanto, como negativa.
a) Cuando alcance la altura máxima su velocidad será cero:

\cancelto{0}{v} = v_0 - gt_s\ \to\ t_s = \frac{v_0}{g} = \frac{50\ \cancel{m}/\cancel{s}}{9,8\ \cancel{m}/s^{\cancel{2}}} = \bf 5,1\ s


b) El valor de la altura máxima es:

\cancelto{0}{v^2} = v_0^2 -2gh_{m\acute{a}x}\ \to\ h_{m\acute{a}x} = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{50^2\ m^\cancel{2}/\cancel{s^2}}{19,6\ \cancel{m}/\cancel{s^2}}} = \bf 127,6\ m


c) Usando la misma ecuación del apartado anterior:

v = \sqrt{v_0^2 - 2gh} = \sqrt{50^2\frac{m^2}{s^2} - 2\cdot 9,8\frac{m}{s^2}\cdot 80\ m} = \bf 30\frac{m}{s}


d) A los 3 s del lanzamiento:

h = v_0t - \frac{1}{2}gt^2 = 50\frac{m}{\cancel{s}}\cdot 3\ \cancel{s} - 4,9\frac{m}{\cancel{s^2}}}\cdot 9\ \cancel{s^2} = \bf 105,9\ m


e) Usamos la misma ecuación del apartado anterior y obtenemos una ecuación de 2º grado que habrá que resolver:
h = v_0t - \frac{g}{2}t^2\ \to\ h = 50t - 4,9t^2
La resolución de la ecuación 4,9t^2 - 50t + 60 = 0 da dos soluciones que son:
\bf t_1 = 8,82\ s y t_2 = \bf 1,39\ s.
Ambas soluciones son válidas físicamente. La primera se refiere al instante en el que el objeto está en descenso y la primera cuando aún está en ascenso.