Análisis la energía de una deportista que es empujada en un plano inclinado

, por F_y_Q

En una competición, un deportista empuja durante 5 segundos a su compañera de 36 kg que está sentada sobre un deslizador por un camino para que gane impulso partiendo del reposo. El recorrido consta de 100 metros de un camino inclinado, que tiene 38^o con respecto a la horizontal, de hormigón donde la fricción se puede considerar nulo. Luego el camino es horizontal y el coeficiente de fricción dinámico entre las ruedas y el asfalto es de 0,1 hasta que se detiene. La fuerza que le aplica el deportista a la compañera es de 15 N en sentido descendente.

a) Calcula la longitud total del recorrido y el tiempo del recorrido.

b) Calcula la energía mecánica en el punto inicial, tras el empuje del deportista, al final del camino inclinado y al final del recorrido.


SOLUCIÓN:

La altura inicial de los deportistas se obtiene a partir del dato de la longitud del plano inclinado y el valor del ángulo de inclinación:
sen\ 38^o = \frac{h}{L}\ \to\ h = L\cdot sen\ 38^o = 100\ m\cdot sen\ 38^o = 61,6\ m
b) La energía mecánica en el punto inicial, que llamamos A, es:

E_M(A) = mgh_A = 36\ kg\cdot 9,8\frac{m}{s^2}\cdot 61,6\ m = \bf 2,17\cdot 10^4\ J


La variación de la velocidad que experimenta la deportista por acción de la fuerza F y de su componente "x" del peso se obtiene al hacer el impulso mecánico sobre la fuerza total sobre la deportista durante los 5 s.
F_T = F + mgsen\ 38^o = (15\ N + 36\ kg\cdot 9,8\frac{m}{s^2}\cdot sen\ 38^o) = 232,2\ N
F\cdot t = m\cdot \Delta v\ \to\ \Delta v = v_B = \frac{F_T\cdot t}{m} = \frac{232,2\ N\cdot 5\ s}{36\ kg} = 32,25\frac{m}{s}
Podemos calcular la aceleración que ha sufrido para calcular qué recorrido ha hecho en la rampa:
a = \frac{F_T}{m} = \frac{232,2\ N}{36\ kg} = 6,45\frac{m}{s^2}
v^2 = \cancelto{0}{v_0^2} + 2ad_1\ \to\ d_1 = \frac{32,25^2\frac{m\cancel{^2}}{\cancel{s^2}}}{2\cdot 6,45\frac{\cancel{m}}{\cancel{s^2}}} = 80,6\ m
Esto quiere decir que le quedan por recorrer 100 - 80,6 = 19,4 m del plano inclinado. La altura a la que se encuentra es, por lo tanto:
h_B = L^*\cdot sen\ 38^o = 19,4\ m\cdot sen\ 38^o = 11,9\ m
Ya podemos calcular la energía mecánica tras el empuje del deportista, que llamamos B, es:

E_M(B) = mgh_B + \frac{1}{2}mv_B^2 = 36\ kg\cdot \left(9,8\frac{m}{s^2}\cdot 11,9\ m + \frac{32,25^2}{2}\frac{m^2}{s^2}\right) = 2,29\cdot 10^4\ J


Como en el plano inclinado no hay rozamiento, la energía mecánica al final del camino inclinado, que llamamos C, es igual a la que hemos calculado para B:

E_M(C) = E_M(B) = \bf 2,29\cdot 10^4\ J


Al final del recorrido la velocidad de la deportista será cero y estará sobre la horizontal, con lo que su energía mecánica final será nula: \bf E_M(D) = 0
Podemos calcular la distancia que recorre hasta detenerse si tenemos en cuenta que el trabajo de la fuerza de rozamiento en el tramo horizontal tiene que ser igual a la variación de la energía mecánica desde C hasta D:
\Delta E_M = W_R\cdot d_2\ \to\ d_2 = \frac{\Delta E_M}{\mu \cdot m\cdot g}
Sustituimos, tiendo en cuenta que la variación de la energía mecánica coincide con el valor de la energía mecánica en C:
d_2 = \frac{2,29\cdot 10^4\ J}{0,1\cdot 36\ kg\cdot 9,8\frac{m}{s^2}} = \bf 649\ m
a) La longitud total del recorrido es la suma de la longitud del camino inclinado y la que acabamos del calcular:

d_T = (100 + 649)\ m = \bf 749\ m


La velocidad que tendrá la deportista en el punto C, cuando llega al final del camino inclinado, se puede obtener a partir del valor de su energía mecánica, que coincide con la cinética:
E_M(C) = E_C(C) = \frac{1}{2}m\cdot v_C^2\ \to\ v_C = \sqrt{\frac{2\cdot 2,29\cdot 10^4\ J}{36\ kg}} = 35,67\frac{m}{s}
La aceleración de la deportista en el tramo horizontal se obtiene al considerar la única fuerza que actúa para detenerla, que es la fuerza de rozamiento:
- F_R = m\cdot a_{CD}\ \to\ \mu\cdot \cancel{m}\cdot g = \cancel{m}\cdot a_{CD}\ \to\ a_{CD} = - 0,1\cdot 9,8\frac{m}{s^2} = - 0,98\frac{m}{s^2}
El tiempo de frenado es:
\cancelto{0}{v_D} = v_C + a_{CD}\cdot t_f\ \to\ t_f = \frac{-35,67\frac{\cancel{m}}{\cancel{s}}}{-0,98\frac{\cancel{m}}{s\cancel{^2}}} = 36,4\ s
El tiempo total del recorrido lo obtenemos al considerar el tiempo durante el que la deportista es empujada por su compañero:

t_T = (5 + 36,4)\ s = \bf 41,4\ s