Algebra de vectores referido a sus módulos (7856)

, por F_y_Q

|

Demuestra que la desigualdad |\vec{a} + \vec{b}| \leqslant |\vec{a}| + |\vec{b}| , se cumple para los vectores \vec{a} = \vec{i} - \vec{j} + \vec{k} y \vec{b} = -2\vec{i} + 5\vec{j} - 3\vec{k} . ¿Qué tienen que cumplir dos vectores \vec{a} y \vec{b} para que se verifique la igualdad |\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}| ?

P.-S.

Lo primero que debes hacer el calcular los módulos que tienes que relacionar:

\left |\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{\sqrt{3}}}
|\vec{b} = \sqrt{(-2)^2 + 5^2 + (-3)^2} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{\sqrt{38}}}

Para hacer el vector de la suma primero debes sumar los vectores:

\vec{a} + \vec{b} = (1 - 2)\ \vec{i} + (-1 + 5)\ \vec{j} + (1 - 3)\ \vec{k} = -\vec{i} + 4\ \vec{j} - 2\ \vec{k}

Ahora haces el módulo del vector que has obtenido:

|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2 + (-2)^2} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{\sqrt{21}}}

Como puedes ver, se cumple al desigualdad:

\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\sqrt{21} < \sqrt{3} + \sqrt{38}}}}


El módulo de la suma de vectores lo puedes expresar también como:

|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab\cdot cos\ \alpha}

Para saber cuando se verifica la igualdad en la ecuación de partida solo tienes que hacer el cuadrado en ambos miembros e igualar:

|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{a^2 + b^2 + 2ab\cdot cos\ \alpha = a^2 + b^2 + 2ab}}

Esta igualdad se verifica cuando cos\ \alpha = 1, es decir, si \color[RGB]{192,0,0}{\bm{\alpha = 0}}. Para que se cumpla la igualdad, los vectores tienen que ser paralelos.

TogelhokSitus Slot TogelhokWild Bounty Showdownslot new memberLvonline LoginScatter HitamDaftar LvonlineSlot Gacor Hari IniLvonlineScatter HitamKoi GateTOGELHOKToto MacauLucky NekoMahjong Wins 2LvoslotDragon Hatch 2Slot GacorlvonlinetogelhokSBOTOP