Aplicación del teorema de la conservación de la energía con rozamiento

, por F_y_Q

Un bloque de masa de 3 kg parte del reposo y se desliza a una distancia de 3 m por la superficie de un plano inclinado un ángulo de 37^o. El bloque choca con un resorte de constante de elasticidad 93 N/m al llegar al final del plano. Si el coeficiente de rozamiento es de 0,2, determina:

a) La velocidad con la que llega el bloque al resorte.

b) ¿Cuál es la comprensión máxima del resorte?

c) ¿Hasta qué distancia subirá el bloque después del rebote?


SOLUCIÓN:

En todo el problema voy a considerar criterios energéticos, aplicando el Teorema de la Conservación de la Energía Mecánica para sistemas con rozamiento. Hay que ser hábil a la hora de manejar ecuaciones y tener claras las relaciones trigonométricas para poder seguir el desarrollo del problema.
a) La velocidad con la que llega al final del plano (2) va a depender de la energía potencial al inicio (1) y del trabajo hecho por la fuerza de rozamiento, según la ecuación: E_P(1) = E_C(2) + W_R:
\cancel{m}gh = \frac{\cancel{m}}{2}v^2 + \mu \cancel{m}gdcos\ 37^o\ \to\ v = \sqrt{2g(h - \mu dcos\ 37^o)}
La altura inicial del bloque se puede poner en función de la distancia que desliza por el plano (h = d\cdot sen\ 37^o):

v = \sqrt{19,6\frac{m}{s^2}\cdot (1,8 - 0,29)\ m} = \bf 5,44\frac{m}{s}


b) La energía cinética al llegar a (2) debe ser la que se transforme en energía potencial elástica para deformar el resorte (3). Voy a suponer que en la deformación no hay degradación de energía (ya no roza con el plano):
E_C(2) = E_P(3)\ \to\ \frac{m}{\cancel{2}}v^2 = \frac{k}{\cancel{2}}\Delta x^2
Sustituimos y calculamos la deformación o compresión del resorte:

\Delta x = \sqrt{\frac{mv^2}{k}} = \sqrt{\frac{3\ kg\cdot 5,44^2\frac{m^2}{s^2}}{93\frac{N}{m}} = \bf 0,98\ m


c) La energía potencial elástica que almacena el resorte (3) tendrá que ser igual a la energía potencial del bloque cuando llegue a la nueva altura (4) más el trabajo de rozamiento que haga al subir el nuevo tramo por el plano inclinado: E_P(4) = E_P(3) + W^*_R
mgh^* = \frac{k}{2}\Delta x^2 + \mu mgd^*\ \to\ mgh^* = \frac{k}{2}\Delta x^2 + \mu mg\frac{h^*}{sen\ 37^o}
Sustituimos por los valores conocidos para transformar la ecuación en otra más simple:

29,4h^* = 44,66 + 9,77h^*\ \to\ \bf h^* = 2,27\ m