Colisión elástica de cuerpos de masas distintas

, por F_y_Q

En la figura se muestra el resultado de un choque entre dos objetos de masas distintas.

a) Calcula la velocidad v_2 de la masa mayor después del choque y el ángulo \theta_2.
b) Demuestra que este choque es elástico.


SOLUCIÓN:

En la colisión se ha de conservar la cantidad de movimiento. Esta condición nos dará la relación entre la velocidad v_2 y la velocidad inicial del cuerpo de menor masa v_0. Es imporante tener en cuenta que la velocidad es vectorial y considerar las componentes de las velocidades:
3mv_0\ \vec i = \sqrt{5}mv_0\cdot cos\ \theta_1\ \vec i + \sqrt{5}mv_0\cdot sen\ \theta_1\ \vec j + 2mv_2\cdot cos\ \theta_2\ \vec i - 2mv_2\cdot sen\ \theta_2\ \vec j
Sabemos que tg\ \theta_1 = 2, lo que quiere decir que, haciendo la función inversa a la tangente, el ángulo es \theta_1 = 63,4^oC
Analizamos la ecuación componente a componente.
Horzontal:
3mv_0 = \sqrt{5}mv_0\cdot cos\ \theta_1 + 2mv_2\cdot cos\ \theta_2
3v_0 = v_0 + 2v_2\cdot cos\ \theta_2\ \to\ v_0 = v_2\cdot cos\ \theta_2
Vertical:
0 = \sqrt{5}mv_0\cdot\ sen\ 63,4 - 2mv_2\cdot sen\ \theta_2\ \to\ v_0 = v_2\cdot sen\ \theta_2
Como podemos ver, la única manera de que v_0 cumpla ambas condiciones es que cos\ \theta_2 = sen\ \theta_2\ \to\ \theta_2 = 45^oC
Ahora podemos escribir el valor de la velocidad v_2 en función de la velocidad inicial:

v_0 = v_2\cdot cos\ 45\ \to\ \bf v_2 = \sqrt{2}v_0


b) Si es un choque elástico se tendría que conservar la energía cinética del mismo:

\frac{1}{2}m\left(\frac{\sqrt{2}\cdot 3\cdot v_2}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}m\left(\frac{\sqrt{5}\cdot \sqrt{2}\cdot v_2}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}2mv_2^2\ \to\ \bf 4,5v_2^2 = 2,5v_2^2 + 2v_2^2

Se cumple la igualdad con lo que el choque es elástico.