EBAU Andalucía Física junio 2018: ejercicio 1 opción A (resuelto)

, por F_y_Q

a) Si la masa y el radio de la Tierra se duplican, razona si las siguientes afirmaciones son correctas: i) El periodo orbital de la Luna se duplica; ii) su velocidad orbital permanece constante.
b) La masa de Marte es la décima parte de la masa de la Tierra y su radio la mitad del radio terrestre. Calcula cuál sería la masa y el peso en la superfice de Marte de una persona que en la superficie terrestre tuviera un peso de 700 N.
g_T = 9,8\ m\cdot s^{-2}.


SOLUCIÓN:

a) La velocidad orbital de la Luna se puede obtener si igualamos la atracción gravitatoria entre la Tierra y la Luna a la fuerza centrípeta debido a la velocidad con la que orbita la Luna alrededor de la Tierra (siendo ésta circular). La ecuación que resulta es:
F_G = F_{ct}\ \to\ G\cdot \frac{M_T\cdot M_L}{d_{T-L}^2} = M_L\cdot \frac{v^2}{d_{T-L}}\ \to\ v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{(R_T + d)}
El periodo orbital se obtiene considerando que el satélite da una vuelta completa y despejando el tiempo para ello:
T = \frac{2\pi d_{T-L}}{v} = 2\pi \sqrt{\frac{(R_T + d)^3}{G\cdot M_T}}
Llamamos v_0 y T_0 a la velocidad y el periodo orbital de la Luna y T_f y v_f para el caso de que la masa y el radio de la Tierra se dupliquen:
i) Aunque se duplique el radio de la Tierra la distancia entre Tierra y Luna es la misma, con lo que podemos escribir esta sin necesidad de tener en cuenta el radio terrestre:
T_f = 2\pi \sqrt{\frac{d_{T-L}^3}{G\cdot M_T}}
Dividiendo ambos periodos orbitales:
\frac{T_f}{T_0} = \frac{2\pi \sqrt{\frac{d_{T-L}^3}{G\cdot 2M_T}}}{2\pi \sqrt{\frac{d_{T-L}^3}{G\cdot M_T}}} = \bf \frac{1}{\sqrt 2}
Despejando se obtiene:

\bf T_f = \frac{\sqrt 2 T_0}{2}

Se puede concluir que es FALSA la primera afirmación.
ii) Hacemos igual que en el apartado anterior pero con las velocidades orbitales:
\frac{v_f}{v_0} = \frac{\sqrt{\frac{2G\cdot M_T}{d_{T-L}}}}{\sqrt{\frac{G\cdot M_T}{d_{T-L}}}} = \bf \sqrt 2
Si despejamos el valor de v_f tendremos:

\bf v_f = \sqrt 2 v_0

Se puede concluir que es FALSA la segunda afirmación.

b) A partir de los datos de Marte podemos escribir la aceleración gravitatoria en Marte en función de la terrestre:
g_M = G\cdot \frac{M_M}{R_M^2} = G\cdot \frac{4M_T}{10R_T^2} = \frac{2}{5}g_T
La masa de la persona es constante y no depende, por lo tanto, del planeta que consideremos. Basta con despejar su valor del peso que nos dan:

p_T = m\cdot g_T\ \to\ m = \frac{p_T}{g_T} = \frac{700\ N}{9,8\ m\cdot s^{-2}} = \bf 71,43\ kg


El peso de la pesona en Marte estará dado en función de la aceleración gravitatoria para Marte:

p_M = m\cdot g_M = \frac{700\ N}{g_T}\cdot \frac{2}{5}g_T = \bf 280\ N