EBAU Andalucía Física junio 2018: ejercicio 1 opción B (resuelto)

, por F_y_Q

a) Un satélite artificial describe una órbita circular en torno a la Tierra. ¿Cómo cambiaría su velocidad orbital si la masa si la masa de la Tierra se duplicase, manteniendo constante su radio? ¿Y su energía mecánica?
b) Se desea situar una satélite de 100 kg de masa en una órbita circular de 100 km de altura alrededor de la Tierra. (i) Determina la velocidad inicial mínima necesaria para que alcance esa altura; (ii) una ver alcanzada dicha altura, calcula la velocidad que habría que proporcionarle para que se mantenga en órbita.
G = 6,67\cdot 10^{-11}\ N\cdot m^2\cdot kg^{-2} ; M_T = 5,98\cdot 10^{24}\ kg ; R_T = 6\ 370\ km


SOLUCIÓN:

a) Para poder analizar cómo cambiaría la velocidad orbital vamos a deducir la ecuación que nos da esa velocidad orbital a partir de la condición de que la fuerza de atracción gravitatoria entre la Tierra y el satélite ha de ser igual a la fuerza centrípeta debido a la velocidad de giro del satélite en su órbita: F_G = F_{ct}
G\cdot \frac{M_T\cdot m}{d^2} = m\cdot \frac{v^2}{d}\ \to\ v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{d}}
Si duplicamos la masa de la Tierra, la expresión anterior tomaría la forma:

v_{2M} = \sqrt{\frac{G\cdot 2M_T}{d}} = \bf \sqrt 2\cdot v


La energía mecánica del satélite será la suma de su energía cinética y su energía potencial:
E_M = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GM_Tm}{d}
Si sustituimos la velocidad por la velocidad orbital del satélite, elevada al cuadrado, obtenemos:

E_M = -\frac{GM_Tm}{2d}

Al duplicar la masa de la Tierra, para deducir cómo variará su energía mecánica, obtendremos:

E_M(2M) = -\frac{G2M_Tm}{2d} = -\frac{GM_Tm}{d} = \bf 2E_M


b) (i) Para llevar el satélite hasta los 100 km de altura debemos suministrar una energía cinética suficiente para que se cumpla el Principio de Conservación de la Energía mecánica: E_M(i) = E_M(f) + W_{nc}. Como el enunciado no nos indica nada, suponemos que el trabajo no conservativo (W_{nc}) es nulo y nuestra ecuación anterior, escrita en función de las energías cinética y potencial, queda como:
E_C(i) + E_P(i) = E_P(f)
(Estamos suponiendo que el satélite es puesto en órbita pero sin considerar velocidad alguna para él, por eso no hay componente cinética en el segundo miembro de la ecuación).
\frac{1}{2}mv_i^2 - \frac{GM_Tm}{R_T} = -\frac{GM_Tm}{d}\ \to\ v_i = \sqrt{2GM_T\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{d}\right)}
Llamamos "d" a la suma del radio de la Tierra y la altura de los 100 km del satélite. Sustituimos los valores y obtenemos:

v_i = \sqrt{2\cdot 6,67\cdot 10^{-11}\frac{Nm^2}{kg^2}\cdot 5,98\cdot 10^{24}\ kg\left(\frac{1}{6,37\cdot 10^6\ m} - \frac{1}{6,47\cdot 10^6\ m}\right)} = \bf 1,39\cdot 10^3\frac{m}{s}


(ii) Solo tenemos que usar la expresión de la velocidad orbital que dedujimos en el primer apartado del ejercicio para obtener la velocidad pedida, eso sí, considerando como radio la suma del radio de la Tierra y la altura de los 100 km:

v = \sqrt{\frac{GM_T}{d}} = \sqrt{\frac{6,67\cdot 10^{-11}\frac{Nm^2}{kg^2}\cdot 5,98\cdot 10^{24}\ kg}{6,47\cdot 10^6\ m} = \bf 7,85\cdot 10^3\frac{m}{s}