Estudio del choque elástico entre dos esferas en función de sus masas

, por F_y_Q

Sean dos bolas de masa m_1 = 0,1\ kg y m_2 = 0,2\ kg suspendidas por sendos hilos de igual longitud cuyos extremos superiores están fijos al techo. La bola de masa m_1 se suelta desde una altura d = 0,2 m.
a) Calcula la velocidad de la bola de masa m_1 justo antes de la colisión.
b) Calcula las velocidades de las bolas después del choque si la colisión es completamente elástica.
c) Calcula la altura h_1 a la que subirá la bola de masa m_1 después del choque si la colisión es completamente elástica.
d) Discute razonadamente las soluciones de los apartados b) y c) en los casos en los que las dos masas son iguales (m_1 = m_2) y cuando m_2 >> m_1.
Nota: Supón que el radio de las bolas es mucho menor que la longitud de los hilos, de manera que las bolas pueden considerarse puntuales. La masa de los hilos se supone despreciable.


SOLUCIÓN:

a) Si la altura que alcanza la masa m_1 es de 0,2 m, podemos aplicar el teorema de conservación de la energía mecánica para determinar la velocidad con la que llega a la posición de la masa m_2. Tomamos como referencia esa posición y hacemos cero la energía potencial en ese punto. Se cumple que la energía potencial de la masa m_1 antes de soltarse ha de ser igual a la energía cinética cuando llegue a la posición de m_2:
E_C = E_C\ \to\ mgh = \frac{1}{2}mv^2\ \to\ v = \sqrt{2gh}
Sustituyendo por los valores dados:

v = \sqrt{2\cdot 9,8\frac{m}{s^2}\cdot 0,2\ m} = \bf 1,98\frac{m}{s^2}


b) Si es choque es perfectamente elástico se deben conservar la cantidad de movimiento y la energía cinética del sistema:
p(i) = p(f)\ \to\ m_1\cdot v_1(i) + m_2\cdot v_2(i) = m_1\cdot v_1(f) + m_2\cdot v_2(f)
E_C(i) = E_C(f)\ \to\ \frac{1}{2}m_1\cdot v_1^2(i) + \frac{1}{2}m_2\cdot v_2^2(i) = \frac{1}{2}m_1\cdot v_1^2(f) + \frac{1}{2}m_2\cdot v_2^2(f)
Si operamos con ambas ecuaciones y agrupamos en función de las masas m_1 y m_2 tenemos:
m_1[v_1(i) - v_1(f)] = m_2[v_2(f) - v_2(i)]
m_1[v_1^2(i) - v_1^2(f)] = m_2[v_2^2(f) - v_2^2(i)]
Dado que la velocidad inicial del cuerpo 2 es nula, las ecuaciones anteriores nos quedan como:
m_1[v_1(i) - v_1(f)] = m_2\cdot v_2(f)
m_1[v_1^2(i) - v_1^2(f)] = m_2\cdot v_2^2(f)
Despejamos el valor de la velocidad final del cuerpo 2 en la primera ecuación y sustituimos en la segunda:
v_2(f) = \frac{m_1[v_1(i) - v_1(f)]}{m_2}
m_1[v_1^2(i) - v_1^2(f)] = m_2\cdot \frac{m_1^2[v_1(i) - v_1(f)]^2}{m_2^2}
v_1^2(i) - v_1^2(f) = 0,5\cdot [v_1(i) - v_1(f)]^2
Aplicando las igualdades notables podemos reescribir la ecuación anterior como:
[v_1(i) + v_1(f)][v_1(i) - v_1(f)] = 0,5[v_1(i) - v_1(f)]^2\ \to\ [v_1(i) + v_1(f)] = 0,5v_1(i) - 0,5v_1(f)

0,5v_1(i) + 1,5v_1(f) = 0\ \to\ v_1(f) = \frac{-0,5v_1}{1,5} = \frac{-1,98\frac{m}{s}}{3} = \bf -0,66\frac{m}{s}

(El valor negativo indica que es una velocidad de retroceso, es decir, en sentido contrario a la velocidad con la que llega la masa m_1 hasta la masa m_2).
La velocidad de la masa 2 después del choque es:

0,5[1,98 - (0,66)]\frac{m}{s} = \bf 1,32\frac{m}{s}


c) Ahora hacemos igual que en el apartado a) pero despejando el valor de la altura (h_1(f)):

mgh = \frac{1}{2}mv^2\ \to\ h_1(f) = \frac{v_1^2(f)}{2g} = \frac{(-0,66)^2\frac{m^2}{s^2}}{2\cdot 9,8\frac{m}{s^2}} = \bf 2,22\cdot 10^{-2}\ m

(Es decir, subirá 2,22 cm después del choque).
d) El razonamiento que nos piden lo podemos hacer a partir de las ecuaciones del apartado b) para la energía cinética y la cantidad de movimiento del sistema antes y después del choque:
m_1[v_1(i) - v_1(f)] = m_2\cdot v_2(f)
m_1[v_1^2(i) - v_1^2(f)] = m_2\cdot v_2^2(f)
Si \bf m_1 = m_2:
[v_1(i) - v_1(f)]^2 = v_1(i)^2 - v_1(f)^2\ \to\ [v_1(i) - v_1(f)]^2 = [v_1(i) - v_1(f)][v_1(i) + v_1(f)]

v_1(i) - v_1(f) = v_1(i) + v_1(f)\ \to\ v_1(f) = 0\ to\ \bf v_2(f) = v_1(i)

Esto quiere decir que el cuerpo 2 adquiere la misma velocidad que el cuerpo 1, mientras que este queda en reposo.
Si \bf m_2 >> m_1:
v_1(i)^2 - v_1(f)^2  =\frac{m_1[v_1(i) - v_1(f)]^2}{m_2}
Como el valor de m_2 es mucho mayor que el de m_1, el cociente tiende a cero, resultando que:

v_1(i)^2 = v_1(f)^2\ \to\ v_1(i) = -v_1(f)

Esto quiere decir que el cuerpo 1 retrocede con la misma velocidad con la que impacta contra el cuerpo 2, mientras que este permanece en reposo.