Velocidades después de un choque inelástico y coeficiente de restitución

, por F_y_Q

Una esfera A de 100 g está unida a una cuerda de 100 cm de longitud, que puede girar alrededor de O, como se puede ver en la figura. La esfera se abandona en la posición 1, desciende y efectúa un choque inelástico contra un bloque B de masa 400 g rebotando hasta la posición 3 que corresponde a un ángulo \theta = 30^o. Sin tener en cuenta el rozamiento entre el bloque y el plano horizontal, calcula:

a) La velocidad de la esfera inmediatamente antes del choque.

b) La velocidad de la esfera después del choque.

c) La velocidad adquirida por el bloque B después del choque.

d) El coeficiente de restitución del choque.


SOLUCIÓN:

El problema será resuelto aplicando el teorema de la conservación de la energía en cada caso.
a) Igualamos la energía potencial de A en la posición 1 con la energía cinética en 2:
E_{P_A}(1) = E_{C_A}(2)\ \to\ \cancel{m}gh_1 = \frac{\cancel{m}}{2}v_2^2

v_2 = \sqrt{2gh_1} = \sqrt{2\cdot 9,8\frac{m}{s^2}\cdot 1\ m} = \bf 4,43\ \frac{m}{s}


b) Ahora tenemos que hacer igual la energía potencial en 3 y la energía de A tras el choque en 2 que llamaré 2^*. Necesitamos saber qué altura sube la esfera A hasta llegar a 3 y para ello usamos el valor del ángulo \theta = 30^o:
h_3 = L - L\cdot cos\ 30 = (1 - 0,87)\ m = 0,13\ m
E_{P_A}(3) = E_{C_A}(2^*)\ \to\ \cancel{m}gh_3 = \frac{\cancel{m}}{2}v_{2^*}^2

v_{2^*} = \sqrt{2gh_3} = \sqrt{2\cdot 9,8\frac{m}{s^2}\cdot 0,13\ m} = \bf 1,59\ \frac{m}{s}


c) Como se trata de un choque inelástico, se ha de conservar la cantidad de movimiento del sistema. Voy a llamar v a las velocidades antes del choque de A y B y llamaré u las velocidades después del choque:
m_A\cdot v_A + m_b\cdot \cancelto{0}{v_B} = m_A\cdot u_A + m_B\cdot u_B
Despejamos y calculamos el valor de u_B:

u_B = \frac{m_A(v_A - u_A)}{m_B} = \frac{0,1\ \cancel{kg}\cdot (4,43 - 1,59)\frac{m}{s}}{0,4\ \cancel{kg}} = \bf 0,71\ \frac{m}{s}


d) El coeficiente de restitución del choque es el cociente entre las velocidades después del choque y las de antes del choque para cada cuerpo:

C_R = \frac{u_A - u_B}{v_A - v_B} = \frac{(1,59 - 0,71)\cancel{\frac{m}{s}}}{(4,43 - 0)\cancel{\frac{m}{s}}} = \bf 0,2