Aplicación del teorema de la conservación de la energía con rozamiento (5311)

, por F_y_Q

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Un bloque de masa de 3 kg parte del reposo y se desliza a una distancia de 3 m por la superficie de un plano inclinado un ángulo de 3 7^o. El bloque choca con un resorte de constante de elasticidad 93 N/m al llegar al final del plano. Si el coeficiente de rozamiento es de 0.2, determina:

a) La velocidad con la que llega el bloque al resorte.

b) ¿Cuál es la comprensión máxima del resorte?

c) ¿Hasta qué distancia subirá el bloque después del rebote?

P.-S.

Te aconsejo que consideres criterios energéticos, aplicando el Teorema de la Conservación de la Energía Mecánica para sistemas con rozamiento, para resolver el problema. Debes ser hábil a la hora de manejar ecuaciones y tener claras las relaciones trigonométricas para poder seguir el desarrollo del problema.

a) La velocidad con la que llega al final del plano (2) va a depender de la energía potencial al inicio (1) y del trabajo hecho por la fuerza de rozamiento, según la ecuación:

E_P(1) = E_C(2) + W_R\ \to\ \cancel{m}gh = \frac{\cancel{m}}{2}\cdot v^2 + \mu\cdot \cancel{m}g\cdot d\cdot cos\ 37^o\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{v = \sqrt{2g(h - \mu\cdot d\cdot cos\ 37^o)}}}

La altura inicial del bloque la puedes escribir en función de la distancia que desliza por el plano:

h = d\cdot sen\ 37^o = 3\ m\cdot sen\ 37 = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 1.8\ m}

Sustituyes los datos conocidos y calculas la velocidad:

v = \sqrt{2\cdot 9.8\ \frac{m}{s^2}\cdot (1.8 - 0.2\cdot 3\cdot cos\ 37)\ m} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{5.4\ \frac{m}{s}}}}


b) La energía cinética al llegar a (2) debe ser la que se transforme en energía potencial elástica para deformar el resorte (3). Debes suponer que en la deformación no hay degradación de energía (ya no roza con el plano):

E_C(2) = E_P(3)\ \to\ \frac{m}{\cancel{2}}\cdot v^2 = \frac{k}{\cancel{2}}\cdot \Delta x^2

Sustituyes y calculas la deformación o compresión del resorte:

\Delta x = \sqrt{\frac{m\cdot v^2}{k}} = \sqrt{\frac{3\ kg\cdot 5.4^2\ \frac{m^2}{s^2}}{93\ \frac{N}{m}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 0.97\ m}}


c) La energía potencial elástica que almacena el resorte (3) tendrá que ser igual a la energía potencial del bloque cuando llegue a la nueva altura (4) más el trabajo de rozamiento que haga al subir el nuevo tramo por el plano inclinado. Te resulta una ecuación muy parecida a la del primer apartado en la que vuelves a escribir cada una de las energías:

E_P(4) = E_P(3) + W^{\prime}_R = m\cdot g\cdot h^{\prime} = \frac{k}{2}\cdot \Delta x^2 + \mu\cdot m\cdot g\cdot d^{\prime}

La distancia que recorre por el plano la puedes escribir en función de la altura que alcanza:

m\cdot g\cdot h^{\prime} = \frac{k}{2}\cdot \Delta x^2 + \mu\cdot m\cdot g\cdot \frac{h^{\prime}}{sen\ 37^o}

Sustituyes por los valores conocidos para transformar la ecuación en otra más simple. Al resolverla obtienes el valor de la altura buscado:

29.4h^{\prime} = 44.7 + 9.8h^{\prime}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{h^{\prime} = 2.3\ m}}}

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