Balance de energía para un bloque que es lanzado hacia arriba por un plano inclinado (6320)

, por F_y_Q

A un bloque se le da una velocidad de 10 \ \textstyle{m\over s} hacia arriba sobre un plano inclinado 30 ^o con un coeficiente de rozamiento de \mu = 0.3 :

a) Determina la altura máxima que alcanza el bloque sobre el plano.

b) Calcula la velocidad con la que regresa el bloque al punto inicial.


SOLUCIÓN:

En primer lugar es necesario que tengas claro que la componente del peso que vamos a considerar en el rozamiento del bloque es la componente:

p_y = m\cdot g\cdot cos\ 30

La distancia que recorre el bloque sobre el plano la puedes expresar en función la altura que alcance y el seno del ángulo:

d = \frac{h}{sen\ 30}

a) La altura máxima coincide con el momento en el que la velocidad del bloque se hace nula. Debes hacer el balance de energía, pero teniendo en cuenta la energía que se degrada en forma de rozamiento:

E_C(i) = E_P + W_R\ \to\ \frac{1}{2}mv_0^2 = mgh_{m\acute{a}x} + \mu\cdot mg\cdot sen\ 30\cdot \frac{h_{m\acute{a}x}}{cos\ 30}

Observa que la masa del bloque no es necesaria porque es un factor común en ambos miembros de la ecuación, por lo que puedes cancelar el término y la ecuación a resolver es:

\frac{v_0^2}{2} = gh + \mu\cdot gh\cdot tg\ 30\ \to\ h_{m\acute{a}x} = \frac{v_0^2}{2g(1 + \mu\cdot tg\ 30)}

h_{m\acute{a}x} = \frac{100\ \frac{m\cancel{^2}}{\cancel{s^2}}}{2\cdot 9.8\ \frac{\cancel{m}}{\cancel{s^2}}\Big(1 + 0.3\cdot 0.58\Big)} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{3.64\ m}}}


b) Para regresar al punto de partida, el bloque debe volver a degradar energía por rozamiento en el mismo tramo que el de subida, por lo que debes configurar el doble del trabajo de rozamiento:

E_C(f) = E_C(i) - 2W_R


\frac{\cancel{m}\cdot v_f^2}{2} = \frac{\cancel{m}\cdot v_i^2}{2} - 2\mu\cdot \cancel{m}\cdot g\cdot h_{m\acute{a}x}\cdot tg\ 30

Despejas el valor de la velocidad final y calculas:

v_f = \sqrt{v_0^2 - 4\mu gh\cdot tg\ 30} = \sqrt{100\ \frac{m^2}{s^2} - 4\cdot 0.3\cdot 9.8\ \frac{m}{s^2}\cdot 3.64\ m\cdot 0.58} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{8.67\ \frac{m}{s}}}}

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