Comprensión de un resorte al golpear un bloque que cae por un plano inclinado (5583)

, por F_y_Q

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En la figura se muestra un bloque de 2 kg que se deja caer desde la parte alta de un plano inclinado con el que presenta un fricción con \mu = 0.2 . Al final del recorrido se encuentra con un resorte con constante elástica k = 300\ \textstyle{N\over m}. Calcula la máxima compresión que sufre el resorte.

P.-S.

Para resolver el problema, aplicas el teorema de conservación de la energía mecánica y lo haces tomando dos puntos; el «punto A», en el instante en el que el bloque comienza a descender por el plano, y el «punto B», cuando comprime al máximo el resorte. Puedes igualar la energía mecánica en ambos puntos, pero, y esto es muy importante, teniendo en cuenta que el bloque roza durante el descenso por el plano inclinado.

La ecuación que debes plantear quedaría como:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{E_M(A) = E_M(B) + W_{Roz}}}

La energía mecánica en A solo tiene componente potencial gravitatoria porque el bloque parte del reposo, mientras que la energía mecánica en B solo tiene componente potencial elástica, en el punto de máxima elongación. Puedes reescribir la ecuación anterior como:

E_{P_g}(A) = E_{P_e}(B) + W_{Roz}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{mgh_A = \frac{1}{2}kx_B^2 + W_{Roz}}}

Debes centrar la atención en el cálculo del trabajo de rozamiento porque conoces el resto de valores. El trabajo es el producto de la fuerza de rozamiento por la distancia que recorre el bloque en el plano inclicado. Esa distancia es, aplicando trigonometría:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{d = \frac{h_A}{sen\ 60^o}}}

La fuerza de rozamiento es igual a la componente «y» del peso por el valor del coeficiente de rozamiento:

F_{\text{Roz}} = \mu\cdot p_y\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{F_{Roz} = \mu\cdot mg\cdot cos\ 60^o}}

El trabajo, al hacer el producto de la distancia por la fuerza de rozamiento, resulta:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{W_{Roz} = \mu\cdot mg\cdot h_A\cdot tg\ 60^o}}

Ya estás en condiciones de reescribir tu balance de energía en el sistema y despejar el valor de la compresión del resorte:

mgh_A = \frac{1}{2}kx_B^2 + \mu\cdot mgh_A\cdot tg\ 60^o\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{x_B = \sqrt{\frac{2mgh_A(1 - \mu\cdot tg\ 60^o)}{k}}}}

Sustituyes los datos del problema y procedes al cálculo:

x_B = \sqrt{\frac{2\cdot 2\ kg\cdot 9.8\ \frac{m}{s^2}\cdot 8\ m(1 - 0.2\cdot 1.73)}{300\ \frac{N}{m}}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 0.83\ m}}

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