Comprensión de un resorte al golpear un bloque que cae por un plano inclinado (5583)

, por F_y_Q

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En la figura se muestra un bloque de 2 kg que se deja caer desde la parte alta de un plano inclinado con el que presenta un fricción con \mu = 0.2 . Al final del recorrido se encuentra con un resorte con constante elástica k = 300\ \textstyle{N\over m}. Calcula la máxima compresión que sufre el resorte.

P.-S.

Para resolver el problema aplicamos el teorema de conservación de la energía mecánica y lo hacemos tomando dos puntos; el punto A en el instante en el que el bloque comienza a descender por el plano, y el punto B cuando comprime al máximo el resorte. Podemos igualar la energía mecánica en ambos puntos pero, y esto es muy importante, teniendo en cuenta que el bloque ROZA durante el descenso por el plano inclinado.
La ecuación que debemos plantear quedaría como:

E_M(A) = E_M(B) + W_{Roz}

La energía mecánica en A solo tiene componente potencial gravitatoria porque el bloque parte del reposo, mientras que la energía mecánica en B solo tiene componente potencial elástica en el punto de máxima elongación. La ecuación anterior puede ser reescrita como:

E_{P_g}(A) = E_{P_e}(B) + W_{Roz}\ \to\ mgh_A = \frac{1}{2}kx_B^2 + W_{Roz}

Debemos centrar la atención en el cálculo del trabajo de rozamiento porque el resto de valores son conocidos. El trabajo es el producto de la fuerza de rozamiento por la distancia que recorre el bloque en el plano inclicado. Esa distancia es, aplicando trigonometría:

d = \frac{h_A}{sen\ 60^o}

La fuerza de rozamiento es igual a la componente y del peso por el valor del coeficiente de rozamiento:

F_{Roz} = \mu\cdot p_y = \mu\cdot mg\cdot cos\ 60^o

El trabajo, al hacer el producto de la distancia por la fuerza de rozamiento, nos queda como:

W_{Roz} = \mu\cdot mg\cdot h_A\cdot tg\ 60^o

Ya estamos en condiciones de reescribir nuestro balance de energía en el sistema y despejar el valor de la compresión del resorte:

mgh_A = \frac{1}{2}kx_B^2 + \mu\cdot mgh_A\cdot tg\ 60^o\ \to\ x_B = \sqrt{\frac{2mgh_A(1 - \mu\cdot tg\ 60^o)}{k}}

Sustituimos los datos del problema y procedemos al cálculo:

x_B = \sqrt{\frac{2\cdot 2\ kg\cdot 9.8\frac{m}{s^2}\cdot 8\ m(1 - 0.2\cdot 1.73)}{300\frac{N}{m}}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 0.83\ m}}

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