Conservación de la energía en un sistema con rozamiento (6682)

, por F_y_Q

Un bloque de 10 kg en reposo se caer desde una altura h = 5 m sobre una rampa lisa y curva. Entre A y B, que distan 2 m, el rozamiento no es despreciable. Se sabe que la fuerza de fricción que se produce al pasar por este sector es de módulo 40 N. Tras este sector hay un resorte ideal de constante recuperadora k = 4 000 N/m contra el que choca el bloque, deformándolo:

a) Calcula la máxima elongación que sufre el resorte. ¿Qué sucede en ese instante de máxima compresión? ¿Qué sucede después de ese instante?

b) ¿A qué altura de la rampa llegará cuando ascienda por ella tras la primera deformación del resorte?

c) ¿Dónde se detiene el bloque? ¿Cuántas veces pasó por el sector con rozamiento antes de detenerse?


SOLUCIÓN:

Debes basar la resolución del problema en el teorema de la conservación de la energía mecánica. En el caso que describe el enunciado, será la energía potencial gravitatoria inicial la que debe servir de referencia para resolver los sucesivos apartados.

a) La energía potencial gravitatoria inicial tiene que ser igual a la energía potencial elástica cuando el resorte esté en su máxima compresión, más el trabajo de rozamiento en el sector con fricción:

E_{P_g} = W_R + E_{P_e}\ \to\ m\cdot g\cdot h = F_R\cdot d + \frac{k}{2}\cdto x^2

Si despejas el valor de la elongación y calculas:

x = \sqrt{\frac{2(m\cdot g\cdot h - F_R\cdot d)}{k}} = \sqrt{\frac{2(10\ kg\cdot 9.8\ \frac{m}{s^2}\cdto 5\ m - 40\ N\cdot 2\ m)}{4\ 000\ \frac{N}{m}}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 0.453\ m}}


En este instante toda la energía del sistema se ha convertido en energía potencial elástica a excepción de la energía que se ha degradado en forma de trabajo de rozamiento.
Después de ese instante, el resorte liberará su energía potencial elástica transformándola en energía cinética del bloque, que inicia un movimiento de retorno.

b) Como solo se degrada energía en el sector con fricción, puedes igualar la energía potencial gravitatoria inicial a la que tendrá en bloque cuando vuelva a subir por la rampa, pero considerando dos veces el trabajo de rozamiento porque pasa dos veces por el sector:

E_{P_i} = 2W_R + E_{P_f}\ \to\ m\cdot g\cdot h_i = 2\cdot F_R\cdot d + m\cdot g\cdot h_f

Despejas el valor de la altura final y calculas:

h_f = \frac{m\cdot g\cdot h_i - 2F_R\cdot d}{m\cdot g} = \frac{10\ kg\cdot 9.8\ \frac{m}{s^2}\cdot 5\ m - 2\cdot 40\ N\cdot 2\ m}{10\ kg\cdot 9.8\ \frac{m}{s^2}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 3.37\ m}}



c) Basta con extrapolar el razonamiento anterior al caso de n pasos por el sector con fricción para poder calcular las veces que lo hace:

m\cdot g\cdot h_i = n\cdot F_R\cdot d\ \to\ n = \frac{10\ \cancel{kg}\cdot 9.8\ \cancel{\frac{m}{s^2}}\cdot 5\ \cancel{m}}{40\ \cancel{N}\cdot 2\ \cancel{m}} = \color[RGB]{2,112,20}{\bf 6.125}


Esto quiere decir que el bloque pasará seis veces por el sector con fricción y se detendrá cuando esté en el séptimo paso.

Puedes saber a qué distancia de A se detiene el bloque en su último paso si calculas la energía que tiene el bloque después de pasar seis veces por el sector. Observa que aún le quedaría 0.125 "veces" para degradar toda la energía inicial, por lo que la energía que le resta en el último trayecto es:

W_R = F_R\cdot d\cdto 0.125 = 40\ N\cdot 2\ m\cdot 0.125 = \color[RGB]{2,112,20}{\bf 10\ J}

La distancia que recorrerá en el sector al pasar el punto A es:

F_R\cdot d^{\prime} = W_R\ \to\ d^{\prime} = \frac{10\ J}{40\ N} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 0.25\ m}}