Conservación de la energía mecánica en una montaña rusa (7159)

, por F_y_Q

Un carro de masa 64 kg que se desplaza en una montaña rusa, pasa por el punto A, ubicado a 24 m de altura, con una velocidad de 8 m/s. Despreciando el roce, determina:

a) A qué altura se encontrará el carro en el punto B, en que su velocidad es de 15 m/s.

b) La velocidad en el punto C, cuya altura es de 8 m.

c) El trabajo realizado por la fuerza de gravedad para mover el carro desde el punto A hasta el punto C.


SOLUCIÓN:

Dado que no hay rozamiento, la energía mecánica del carro se tiene que conservar. Lo más rápido es calcular la energía mecánica inicial y luego ir aplicando la conservación de la energía en cada caso.

\left E_P(A) = m\cdot g\cdot h_A = 64\ kg\cdot 9.8\ \dfrac{m}{s}\cdot 24\ m = 1.51\cdot 10^4\ J \atop E_C(A) = \dfrac{m}{2}\cdot v_A^2 = \dfrac{64}{2}\ kg\cdot 8^2\ \dfrac{m^2}{s^2} = 2.05\cdot 10^3\ J \right \}\ \to\ \color[RGB]{0,112,192}{\bm{E_M(A) = 1.72\cdot 10^4\ J}}

a) Con el dato de la velocidad puedes calcular la energía cinética en B:

E_C(B) = \frac{m}{2}\cdot v_B^2 = \frac{64}{2}\ kg\cdot 15^2\ \frac{m^2}{s^2} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{7.2\cdot 10^3\ J}}

La energía potencial en B la obtienes al aplicar la conservación de la energía. Puedes escribirla en función de la altura y hacer el cálculo de manera directa:

E_M(A) = E_C(B) + E_P(B)\ \to\ h_B = \frac{E_M(A) - E_C(B)}{m\cdot g} = \frac{(1.72\cdot 10^4 - 7.2\cdot 10^3)\ J}{64\ kg\cdot 9.8\ \frac{m}{s^2}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 15.9\ m}}


b) La forma de proceder es análoga al caso anterior, pero ahora con la energía potencial:

E_P(C) = m\cdot g\cdot h_C = 64\ kg\cdot 9.8\ \frac{m}{s^2}\cdot 8\ m = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{7.37\cdot 10^3\ J}}

v_C = \sqrt{\frac{2(E_M(A) - E_C(C))}{m}} = \sqrt{\frac{2(1.72\cdot 10^4 - 7.37\cdot 10^3)\ J}{64\ kg}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{17.4\ \frac{m}{s}}}}


c) El trabajo de la fuerza gravitatoria es:

W_g = -\Delta E_P\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{W_g = E_P(A) - E_P(C)}}

Sustituyes y calculas:

W_g = m\cdot g\cdot (h_A - h_C) = 64\ kg\cdot 9.8\ \frac{m}{s^2}\cdot (24 - 8)\ m = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{10^4\ J}}}