Cuerpos enlazados que rozan entre sí en un plano inclinado

, por F_y_Q

Dos bloques de madera se encuentran sobre un plano inclinado unidos por una polea y una cuerda de masas y efectos despreciables, estando m_B sobre m_A, como se muestra en la figura:
Plano inclinado con dos cuerpos enlazados uno sobre otro

Calcula:

a) La aceleración del sistema y su sentido.

b) Si el centro del bloque B esta a 0,5 m de cada uno de los bordes del bloque A, ¿qué tiempo tarda el centro del bloque B en llegar al borde?

c) El valor del ángulo que impediría el movimiento de los bloques.

Datos: m_A = 20\ kg ; m_B = 10\ kg ; \mu_1 = 0.2 ; \mu_2 = 0.3 ; \alpha = 50^o


SOLUCIÓN:

Para hacer el problema debemos suponer un sentido del movimiento. Voy a suponer que el cuerpo A cae por el plano inclinado y, por lo tanto, el cuerpo B ascenderá sobre el cuerpo A. La aceleración de ambos cuerpos ha de ser la misma.
a) Las fuerzas que hay sobre el cuerpo A son p_{A_x}, T, F_{R_1} y F_{R_2}. Aplicando la segunda ley de Newton:
p_{A_x} - T - F_{R_1} - F_{R_2} = m_A\cdot a
Las fuerzas que hay sobre el cuerpo B son p_{B_x}, T y F_{R_2}. Si aplicamos la segunda ley de Newton a este cuerpo:
T - p_{B_x} - F_{R_2} = m_B\cdot a
Si nos centramos en el módulo de la aceleración, prescindiendo del sentido, sumamos ambas ecuaciones y obtenemos:
p_{A_x} - \cancel{T} - F_{R_1} - 2F_{R_2} + \cancel{T} - p_{B_x} = (m_A + m_B)\cdot a
Solo tenemos que despejar y sustituir para calcular la aceleración:
a = \frac{g(m_A\cdot sen\ 50 - m_B\cdot sen\ 50 - \mu_1\cdot m_A\cdot cos\ 50 - 2\mu_2\cdot m_B\cdot cos\ 50}{(m_A + m_B)}

a = \frac{9.8\frac{m}{s^2}[20\ \cancel{kg}\cdot 0.766 - 10\ \cancel{kg}\cdot 0.766 - 0.2\cdot 20\ \cancel{kg}\cdot 0.643 - 2\cdot 0.3\cdot 10\ \cancel{kg}\cdot 0.643]}{30\ \cancel{kg}} = \bf 0.40\ \frac{m}{s^2}

La aceleración del sistema es el doble de la aceleración que hemos calculado porque era referida a cada cuerpo. Como se mueven en sentido contrario, la aceleración total sería el doble, es decir, \bf a_T = 0.8\ \frac{m}{s^2}.
b) A partir de la ecuación de un movimiento acelerado, calculamos el tiempo:
d = \cancelto{0}{v_0}\cdot t + \frac{a}{2}\cdot t^2\ \to\ t = \sqrt{\frac{2\cdot d}{a}}
Sustituyendo:

t = \sqrt{\frac{2\cdot 0.5\ \cancel{m}}{0.8\frac{\cancel{m}}{s^2}} = \bf 1.12\ s


c) En este caso, la aceleración de cada cuerpo sería nula y la ecuación que obtuvimos en el apartado a) nos queda como: g(m_A\cdot sen\ \theta - m_B\cdot sen\ \theta - \mu_1\cdot m_A\cdot cos\ \theta - 2\mu_2\cdot m_B\cdot cos\ \theta) = 0
Sustituyendo y agrupando:

98\cdot sen \theta - 98\cdot cos\ \theta = 0\ \to\ \theta = arctg\ 1 = \bf 45^o