Disminución del diámetro de una esfera de acero al sumergirse mil metros (5696)

, por F_y_Q

Una esfera sólida de latón, cuyo módulo volumétrico es de 14.0\cdot 10^{10}\ \textstyle{N\over m^2}, con un diámetro de 3.00 m, es lanzada al océano. ¿Cuánto disminuye el diámetro de la esfera cuando se sumerge a una profundidad de 1.00 km?

Densidad del agua salada: \rho = 1\ 030 \ \textstyle{kg\over m^3} .


SOLUCIÓN:

El módulo de compresibilidad hace referencia a la variación de volumen que experimenta un sistema cuando es sometido a una presión externa uniforme y se expresa por medio de la ecuación:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\delta = - \frac{P\cdot V_0}{\Delta V}}}

El volumen inicial lo puedes escribir en función del diámetro de la esfera y la presión hace referencia a la presión hidrostática. Despejas el valor de la variación del volumen:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\Delta V = -\frac{\rho\cdot h\cdot g\cdot 4\pi\cdot (\frac{D_0}{2})^3}{3\delta}}}

La variación de volumen también la puedes escribir en función de los diámetros inicial y final:

-\frac{\rho\cdot h\cdot g\cdot \cancel{4}\cdot \cancel{\pi}\cdot (\frac{D_0}{2})^3}{\cancel{3}\delta}  = \frac{\cancel{4}}{\cancel{3}}\cancel{\pi}\left[\left(\frac{D}{2}\right)^3 - \left(\frac{D_0}{2}\right)^3\right]

Puedes simplificar aún más y te queda la ecuación:
-\frac{\rho\cdot h\cdot g}{\delta}\cdot D_0^3  = \Delta D^3

Es el momento de sustituir en la ecuación y calculas la variación del diámetro de la esfera:

\Delta D = \sqrt[3]{-\frac{1\ 030\frac{kg}{m^3}\cdot 10^3\ m\cdot 9,8\frac{m}{s^2}}{14\cdot 10^{10}\frac{N}{m^2}}}\cdot 3\ m = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf - 0.125\ m}}