EBAU Andalucía: física (junio 2018) - ejercicio B.2 (4724)

, por F_y_Q

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a) Un electrón se mueve con un movimiento rectilíneo uniforme por una región del espacio en la que existen un campo eléctrico y un campo magnético. Justifica cuáles deberán ser la dirección y sentido de ambos campos y deduce la relación entre sus módulos. ¿Qué cambiaría si la partícula fuese un protón?

b) Un conductor rectilíneo transporta una corriente de 10 A en el sentido positivo del eje Z. Un protón situado a 50 cm del conductor se dirige perpendicularmente hacia el conductor con una velocidad de 2 \cdot 10^5\ m\cdot s^{-1}. Realiza una representación gráfica indicando todas las magnitudes vectoriales implicadas y determina el módulo, dirección y sentido de la fuerza que actúa sobre el protón.

Datos: \mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}\ T\cdot m\cdot A^{-1} ; e = -1.6\cdot 10^{-19}\ C

P.-S.

a) Para hacer este apartado es necesario representar la velocidad de la partícula, las fuerzas eléctrica y magnética y obtener el campo magnético a partir de la regla de la mano izquierda. Vamos a ir ilustrando cada una de estas magnitudes y la relación que guardan entre sí. Recuerda que clicando sobre cada miniatura podrás ver las imágenes a tamaño adecuado.

De manera arbitraria, tomamos que la velocidad del electrón está en el eje horizontal y su sentido es hacia la derecha:


También vamos a suponer que la fuerza electrostática debida al campo eléctrico tiene dirección vertical y sentido hacia arriba. Recuerda que son magnitudes tomadas de manera arbitraria:


Si el electrón ha de moverse con un movimiento uniforme y rectilíneo, la fuerza debida al campo magnético tendrá que tener dirección vertical y sentido hacia abajo para que la suma de las fuerzas eléctrica y magnética sea cero:


Ahora, aplicando la regla de la mano izquierda, obtendríamos que el vector inducción magnética (\vec{B}) tiene sentido hacia afuera pero, y esto es importante, como la carga del electrón es negativa, debemos considerar el sentido contrario al obtenido. La situación que nos queda es:


Tal y como hemos indicado antes, la resultante de las fuerzas eléctrica y magnética ha de ser nula. Eso quiere decir que sus módulos han de ser iguales:

F_E = F_M\ \to\ e\cdot E = e\cdot v\cdot B\cdot sen\ \alpha

Como los vectores \vec{v} y \vec{B} son perpendiculares, se cumple que sen\ 90^o = 1 y la relación entre los módulos queda:

\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{E = v\cdot B}}}


Si en lugar de un electrón fuese un protón, podríamos obtener el mismo esquema simplemente considerando que la fuerza eléctrica tiene sentido contrario al supuesto para el caso del electrón. El esquema final sería el mismo que el obtenido antes y la relación de los módulos sería exactamente la misma, es decir, estrictamente hablando, no cambiaría nada.

b) El esquema que representa la situación descrita es:


La intensidad de corriente está fijada por el enunciado y hemos supuesto la dirección horizontal del protón, aunque el sentido sí que viene dado por el enunciado.

A 50 cm del conductor, el sentido del campo magnético se obtiene usando la regla de la mano derecha. La dirección y sentido de la fuerza magnética se obtiene usando la regla de la mano izquierda.

Ahora solo queda calcular el módulo de la fuerza para poder expresarla como un vector:

F = e\cdot v\cdot B = e\cdot v\cdot \frac{\mu_0\cdot I}{2\pi\cdot d}

Sustituyes los valores y obtienes:

F = \frac{1.6\cdot 10^{-19}\ C\cdot 2\cdot 10^5\ \frac{m}{s}\cdot 4\pi\cdot 10^{-7}\ \frac{T\cdot \cancel{m}}{\cancel{A}}\cdot 10\ \cancel{A}}{2\pi\cdot 0.5\ \cancel{m}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{1.28\cdot 10^{-19}\ N}}

Como tiene dirección vertical y sentido hacia abajo, el vector será:

\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\vec{F} = -1.28\cdot 10^{-19}\ \vec k\ (N)}}}