Ecuación de la posición y velocidad de una onda a partir de gráficas (7776)

, por F_y_Q

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En las figuras se representa la variación de la posición (y) de un punto de una cuerda vibrante en función del tiempo (t) y de su distancia (x) al origen, respectivamente.

a) Deduce la ecuación de onda.

b) Determina la velocidad de propagación de la onda y la velocidad de vibración de un punto de la cuerda.

P.-S.

A partir de las gráficas puedes extraer los datos que necesitas. Es importante que te des cuenta de que están representados la mitad del periodo y de la longitud de onda, por lo que los valores para esas magnitudes son el doble de lo que indican las gráficas. La amplitud sí es 0.2 cm. Ahora calculas la frecuencia angular y el número de ondas:

\left \omega = 2\pi\cdot f \atop f = \dfrac{1}{T}\ \right \}\ \to\ {\color[RGB]{2,112,20}{\bm{\omega = \frac{2\pi}{T}}}}\ \to\ \omega = \frac{2\pi}{8\ s}\ \to\ \color[RGB]{0,112,192}{\bm{\omega = \frac{\pi}{4}\ s^{-1}}}

{\color[RGB]{2,112,20}{\bm{k = \frac{2\pi}{\lambda}}}}\ \to\ k = \frac{2\pi}{4\ m}\ \to\ \color[RGB]{0,112,192}{\bm{k = \frac{\pi}{2}\ m^{-1}}}

a) Como se propaga hacia la derecha, la ecuación general de la onda tiene la forma:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{y(x, t) = A\cdot sen(\omega\cdot t - k\cdot x + \phi)}}

Observa que para x = 0 y t = 0 la amplitud también es cero, por lo que \phi = 0 y la ecuación de la onda queda como:

\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{y(x, t) = 2\cdot 10^{-3}\cdot sen\ \left(\frac{\pi}{4}\cdot t - \frac{\pi}{2}\cdot x\right)\ (m)}}}


b) La velocidad de propagación es el cociente entre la longitud de onda y el periodo, datos conocidos, por lo que es de cálculo inmediato:

{\color[RGB]{2,112,20}{\bm{v = \frac{\lambda}{T}}}} = \frac{4\ m}{8\ s}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{v = 0.5\ \frac{m}{s}}}}


La velocidad de vibración la obtienes al derivar la ecuación de la posición con respecto del tiempo:

v(x, t) = \frac{dy}{dt}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{v(x, t) = A\cdot \omega\cdot cos(\omega\cdot t - k\cdot x)}}

Sustituyes y calculas:

\fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{v(x, t) = 5\cdot 10^{-4}\pi\cdot cos(\frac{\pi}{4}\cdot t - \frac{\pi}{2}\cdot x)\ (\frac{m}{s})}}}