Ecuación de una onda armónica transversal a partir de varios datos (7545)

, por F_y_Q

Una onda armónica transversal se propaga en el sentido positivo del eje OX a 90 km/h, tiene una amplitud de 2 m y una frecuencia de 80 Hz. En el instante inicial, en un punto situado en x = 1.25 m, tiene una elongación máxima positiva. Determina lo siguiente: frecuencia angular, longitud de onda, número de onda, periodo, ecuación de onda para cuando t = 0.01 s.

P.-S.

La velocidad la debes expresar en unidad SI y para ello basta con que la dividas por el factor 3.6. Obtienes un valor:

v = \frac{90}{3.6}\ \frac{m}{s} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{25\ \frac{m}{s}}}

La frecuencia angular la obtienes a partir de la frecuencia de la onda:

\omega = 2\pi\cdot f = 2\pi\cdot 80\ s^{-1} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{160\pi\ s^{-1}}}}


La longitud de onda la calculas con la velocidad de propagación y la frecuencia:

v = \lambda\cdot \nu\ \to\ \lambda = \frac{v}{\nu} = \frac{25\ m\cdot \cancel{s^{-1}}}{80\ \cancel{s^{-1}}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 0.313\ m}}


El número de onda es:

k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{0.313\ m} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{6.4\pi\ m^{-1}}}}


El periodo es la inversa de la frecuencia:

T = \frac{1}{\nu} = \frac{1}{80\ s^{-1}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{1.25\cdot 10^{-2}\ s}}}


Para hacer la ecuación de la onda debes tener en cuenta la ecuación general de una onda transversal:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{y(x,t) = A\cdot cos\ (\omega\cdot t - k\cdot x + \phi)}}

Si le impones la condición que indica el enunciado, para t = 0 y x = 1.25, y = A:

A = A\cdot cos\ (\cancelto{0}{\omega\cdot t} - 1.25k + \phi)\ \to\ cos\ (- 8\pi + \phi) = 1\ \to\ \color[RGB]{0,112,192}{\bm{\phi = 8\pi}}

La ecuación de onda en t = 0.01 s será:

y(x, 0.01) = 2cos\ (1.6\pi - 6.4\pi + 8\pi)\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{y(x, 0.01) = 2cos\ (3.2\pi)}}}


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