Ecuación de una onda cuando cambia su velocidad pero no su frecuencia

, por F_y_Q

Una onda que tiene una ecuacion, en unidades SI:

y = 0,4\cdot cos \left[\pi \left(\frac{x}{2} - \frac{t}{4}\right) \right]

Pasa del medio en el que se propagan a otro donde su velocidad se duplica y su amplitud se reduce a la mitad. Escribe la ecuacion de propagación de la onda en el segundo medio, considerando que la frecuencia permanece constante.


SOLUCIÓN:

La ecuación general de una onda de ese tipo es:
y = A\cdot cos (\omega \cdot t - k\cdot x)
Por comparación podemos ver que \omega = \frac{\pi}{4} y k = \frac{\pi}{2}
La velocidad de propagación es igual al cociente entre la velocidad angular y el número de ondas. Vamos a hacer el cociente entre las velocidades de propagación entre el primer y segundo medio:
\frac{v_2}{v_1} = \frac{\frac{\omega_1}{k_1}}{\frac{\omega_2}{k_2}}
La frecuencia angular es \omega = 2\pi\cdot f y nos dicen que la frecuencia debe ser igual, por lo tanto \omega_1 = \omega_2 y reescribimos la ecuación anterior:
\frac{v_2}{v_1} = \frac{\frac{\cancel{\omega}}{k_1}}{\frac{\cancel{\omega}}{k_2}}\ \to\ \frac{v_2}{v_1} = 2 = \frac{k_2}{k_1}\ \to\ k_2 = 2k_1
Ya podemos escribir la ecuación de propagación de la onda en el segundo medio:

\bf y = 0,2\cdot cos \left[\pi \left(x - \frac{t}{4}\right) \right]