Energía y trabajo de una partícula 0001

, por F_y_Q

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Una partícula de 4 kg se mueve a lo largo del eje x. Su posición varía con el tiempo de acuerdo con la ecuación: x(t) = (t + 2)^3 donde x se mide en metros y t en segundos. Encuentra:
a) La energía cinética en cualquier instante.
b) La aceleración de la partícula y la fuerza que actúa sobre ella en función del tiempo.
c) El trabajo efectuado sobre la partícula en el intervalo t = 0 a t = 2 s.

P.-S.

a) Para obtener la energía cinética necesitamos conocer la velocidad de la partícula. Para ello derivamos la ecuación de la posición con respecto del tiempo:

v=\frac{d((t+2)^3}{dt}=3(t+2)^2\ \ (Ecuaci\’on\ 1)


Ahora podemos escribir la energía cinética en función del tiempo:

E_c = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{4}{2}\cdot [3(t+2)^2]^2 = \bf 18(t+2)^4\ (J)


b) La aceleración de la partícula se puede obtener haciendo la derivada de la velocidad (Ecuación 1) con respecto del tiempo:

a=\frac{d(3(t+2)^2}{dt}=\bf{6(t+2)\ (m/s^2)}


La fuerza que actúa sobre ella, aplicando la segunda ley de la Dinámica, será:

F = m\cdot a = 4\cdot 6(t+2) = \bf{24(t+2)\ (N)}


c) El trabajo es el producto de la fuerza aplicada por la distancia recorrida. Debemos hacer la integral definida para el intervalo dado:

W = \int_0^2 F\cdot x\cdot dt = \int_0^2 24(t+2)\cdot (t+2)^3\cdot dt = 24\int_0^2 (t+2)^4\cdot dt


Resolviendo la integral:

W = 24[\frac{(t+2)^5}{5}]_0^2 = 24\cdot \frac{992}{5} = \bf 4\ 761,6\ J