Estudio de un muelle que gira formando un péndulo cónico

, por F_y_Q

Un cuerpo de 1 kg de masa y dimensiones pequeñas está unido a un muelle de masa despreciable que tiene una longitud natural de 48 cm y una constante elástica de 980 N/m. Hacemos girar el muelle y el cuerpo que sostiene, como un péndulo cónico, a una frecuencia de 60 rpm, manteniendo fijo el extremo que no está unido al cuerpo.

a) Determina el alargamiento del muelle y el ángulo que forma el eje de rotación del sistema con la dirección del muelle, cuando está girando.

b) Tomando como origen (o cero) de energía potencial gravitatoria el plano horizontal que contiene el punto fijo del muelle, calcula la energía mecánica total del sistema.


SOLUCIÓN:

a) El alargamiento del muelle lo puedes calcular igualando la fuerza centrípeta debida al giro del sistema con la fuerza recuperadora del muelle:

F_{ct} = F\ \to\ m\cdot \frac{v^2}{R} = k\cdot \Delta x\ \to\ m\cdot \omega^2\cdot R = k\cdot \Delta x

La velocidad angular, en unidades SI, es:

60\ \frac{\cancel{rev}}{\cancel{min}}\cdot \frac{2\pi}{1\ \cancel{rev}}\cdot \frac{1\ \cancel{min}}{60\ s} = 2\pi\ s^{-1}

También hay que expresar la longitud del muelle en metro:

\Delta x = \frac{m\cdot \omega^2\cdot R}{k} = \frac{1\ kg\cdot 4\pi^2\ s^{-2}\cdot 0.48\ m}{980\ \frac{N}{m}} = \fbox{\color{red}{\bm{1.93\cdot 10^{-2}\ m}}}


La dirección del muelle con respecto a su vertical se puede obtener descomponiendo la tensión del muelle (que es su fuerza recuperadora). La componente vertical de la tensión es igual al peso, como puedes ver en la figura:
Fuente: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/trabajo/conico/conico.htm

T\cdot cos\ \theta = mg\ \to\ cos\ \theta = \frac{1\ kg\cdot 9.8\ \frac{m}{s^2}}{980\ \frac{N}{\cancel{m}}\cdot 1.93\cdot 10^{-2}\cancel{m}}} = 0.518

\theta = arccos\ 0.518\ \to\ \fbox{\color{red}{\bm{\theta = 58.8^o}}}


b) Para hacer el cálculo de energía voy a considerar que la elongación del muelle es 0.02 m y la longitud final será 0.05 m, para simplificar.
La energía mecánica tiene dos componentes; la potencial y la cinética, aunque en este caso la potencial hará referencia a la elástica y la gravitatoria. La podemos escribir como:

E_M = E_{P_e} + E_{P_g} + E_C.

La energía cinética se puede escribir en función de la longitud del muelle, la masa del cuerpo y el ángulo que forma el péndulo con la vertical, si tenemos en cuenta que la que velocidad del péndulo depende de la componente radial de la tensión, es decir, de la fuerza centrípeta:

T_x = m\cdot a_n = m\cdot \frac{v^2}{R}\ \to\ mv^2 = T_x\cdot R

E_C = \frac{1}{2}mv^2\ \to\ E_C = \frac{1}{2}(T\cdot sen\ \theta)\cdot R

La tensión y el radio se pueden expresar como:

T = \frac{mg}{cos\ \theta}
R = L\cdot sen\ \theta

E_C = \frac{mgL}{2}\cdot tg\ \theta\cdot sen\ \theta = \frac{1\ kg\cdot 9.8\ \frac{m}{s^2}\cdot 0.05\ m}{2}\cdot tg\ 58.8^o\cdot sen\ 58.8^o = \color{blue}{0.692\ J}

La energía potencial gravitatoria será:

E_{P_g} = mgh = mgL\cos\ \theta = 1\ kg\cdot 9.8\ \frac{m}{s^2}\cdot 0.05\ m\cdot cos\ 58.8^o = \color{blue}{0.254\ J

La energía potencial elástica está relacionada con la fuerza recuperadora del muelle:

E_{P_e} = \frac{1}{2}k\Delta x^2 = \frac{980}{2}\ \frac{N}{\cancel{m}}\cdot 0.02^2\ m\cancel{^2} = \color{blue}{0.196\ J

La energía mecánica total del sistema será la suma de las componentes:

E_M = (0.692 + 0.254 + 0.196)\ J = \fbox{\color{red}{\bm{1.142\ J}}}