Fuerza necesaria para hacer girar una moneda con una frecuencia dada (7426)

, por F_y_Q

Se hace girar una moneda de dos euros (2.575 cm de radio y 8.5 g de masa) alrededor de un eje contenido en el plano de la moneda y que pasa por su centro. Para ello se le aplica un par de fuerzas con los dedos durante 0.1 s y como resultado gira con una frecuencia de 10 rpm.

a) ¿Qué fuerza se aplicó a los bordes de la moneda?

b) ¿Qué fuerza habría que aplicar a una moneda de 1 euro (2.325 cm de radio y 7.5 g de masa) para que gire con la misma frecuencia que la de dos euros?

Considera que el momento de inercia de las monedas es: I = \textstyle{1\over 4}\cdot m\cdot R^2.


SOLUCIÓN:

El momento angular con el que gira la moneda lo puedes expresar en función de la velocidad angular con la que lo hace. El módulo de ese vector es:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{L = I\cdot \omega}}

La variación que experimenta el momento angular, como consecuencia de aplicar el momento del par de fuerza sobre la moneda, la puedes escribir como:

\left M_{\text{ext}} = \dfrac{dL}{dt} = \dfrac{I\cdot \omega}{dt} = I\cdot \alpha \atop M_{\text{ext}} = F\cdot d \right \}\ \to\ F\cdot d = I\cdot \alpha\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{F = \frac{I\cdot \alpha}{d}}}

La distancia que debes considerar es el doble del radio de la moneda porque el par de fuerzas lo haces en los extremos de la moneda. Si sustituyes en la ecuación anterior, teniendo en cuenta el momento angular, obtienes:

F = \frac{m\cdot R\cancel{^2}\cdot \alpha}{4\cdot 2\ \cancel{R}}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{F = \frac{m\cdot R\cdot \alpha}{8}}}

Debes expresar la frecuencia de giro en unidad SI:

10\ \frac{\cancel{rev}}{\cancel{min}}\cdot \frac{2\pi\ rad}{1\ \cancel{rev}}\cdot \frac{1\ \cancel{min}}{60\ s} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{1.05\ s^{-1}}}

La aceleración angular que sufre la moneda es:

\alpha = \frac{\omega - \cancelto{0}{\omega_0}}{t} = \frac{1.05\ s^{-1}}{0.1\ s} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{10.5\ s^{-2}}}

a) En el caso de la moneda de 2 euros:

F_{2e} = \frac{8.5\cdot 10^{-3}\ kg\cdot 10.5\ s^{-2}\cdot 2.575\cdot 10^{-2}\ m}{8} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{2.873\cdot 10^{-4}\ N}}}


b) Si la moneda es de un 1 euro el cálculo es análogo al anterior pero con los datos de masa y radio indicados:

F_{1e} = \frac{7.5\cdot 10^{-3}\ kg\cdot 10.5\ s^{-2}\cdot 2.325\cdot 10^{-2}\ m}{8} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{2.299\cdot 10^{-4}\ N}}}